A duração da gestação \left(t_{g}\right) também segue uma relação da forma t_{g} \propto m^{1 / 4}. A partir do tempo de gestação de uma gata ( \mathrm{m}_{\mathrm{G}} \approx 4 \mathrm{~kg} e t_{g}=2,3 mês ), calcule a duração da gestação t_{g} (em meses) de:
um hipopótamo fêmea ( \mathrm{m}_{\mathrm{H}}=1900 \mathrm{~kg} ).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a duração da gestação t_g (em meses) de um hipopótamo fêmea com massa \mathrm{m_H}=1900\\ \mathrm{kg}, sabendo que a duração da gestação segue a relação de proporcionalidade t_g \propto m^{1/4}.\n
Informações dadas:
\mathrm{m_G}=4\\ \mathrm{kg},\quad t_g(\text{gata})=2{,}3\\ \text{meses},
\mathrm{m_H}=1900\\ \mathrm{kg},
e a lei de escala:
t_g \propto m^{1/4}.

Passo 2

Transformando a proporcionalidade em uma fórmula algébrica: quando dizemos t_g \propto m^{1/4} podemos escrever
t_g = k\,m^{1/4},
onde k é uma constante de proporcionalidade que vale para todas as espécies dentro desse modelo. Aqui, t_g é o tempo de gestação (meses), m é a massa (kg) e k é um número que ajusta a escala.

Passo 3

Modo prático e mais econômico em cálculo: usar a razão entre dois casos para eliminar k. Se temos duas espécies 1 e 2,
\frac{t_{g2}}{t_{g1}}=\frac{k\,m_2^{1/4}}{k\,m_1^{1/4}}=\left(\frac{m_2}{m_1}\right)^{1/4}.
Então
t_{g2}=t_{g1}\left(\frac{m_2}{m_1}\right)^{1/4}.
No nosso caso 1 = gata e 2 = hipopótamo, logo
t_g(\text{hipopótamo})=2{,}3\left(\frac{1900}{4}\right)^{1/4}.ó

Passo 4

Explicando a operação \left(\frac{1900}{4}\right)^{1/4}: a potência ^{1/4} é a quarta raiz, que é a raiz quadrada da raiz quadrada. Então podemos calcular em duas etapas:
\left(\frac{1900}{4}\right)^{1/4}=\sqrt{\sqrt{\frac{1900}{4}}}.
Primeiro calcule a razão:
\frac{1900}{4}=475.

Passo 5

Calcule a raiz quadrada de 475 (aproximação manual): 21^2=441 e 22^2=484, então \sqrt{475} está entre 21 e 22. Aproximando com uma casa decimal:
\sqrt{475}\approx 21{,}7945.
Agora faça a raiz quadrada desse resultado para obter a quarta raiz:
475^{1/4}=\sqrt{21{,}7945}\approx 4{,}667.
(Observação didática: se fizer à mão, pode interpolar entre quadrados; aqui usei valores decimais para chegar a uma boa aproximação.)

Passo 6

Agora multiplique por t_g da gata:
t_g(\text{hipopótamo})=2{,}3\times 4{,}667\approx 10{,}7341\\ \text{meses}.ó
Arredondando de forma razoável para uma casa decimal (suficiente para tempos biológicos):
t_g(\text{hipopótamo})\approx 10{,}7\\ \text{meses}.ó

Passo 7

Breve interpretação e verificação rápida: a relação t_g\propto m^{1/4} significa que aumentar muito a massa aumenta o tempo de gestação, mas com crescimento lento (exponencial fraco, porque 1/4 é pequeno). De 4\\ \mathrm{kg} para 1900\\ \mathrm{kg} a massa cresce muito, e a quarta raiz desse fator dá um aumento moderado do tempo gestacional, daqui o resultado perto de 11 meses — faz sentido biológico.

Resposta

t_g(\text{hipopótamo})\approx 10{,}7\\ \text{meses}ó

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