Durante a ampliação de uma área destinada à construção de um conjunto de edificações, será executado um aterro que provocará aumento das tensões no subsolo. Investigações geotécnicas identificaram a presença de uma camada de argila normalmente adensada, com comportamento altamente compressível. A camada possui 3,0 \mathrm{~m} de espessura, índice de vazios inicial igual a 1,5 \mathrm{e} índice de compressão igual a 0,5 . Após a execução do aterro, estimou-se que a tensão vertical efetiva atuante sobre essa camada sofrerá um aumento de 80 \% em relação à tensão inicial existente. Dados:
  • Espessura da camada \mathrm{H}=3,0 \mathrm{~m};
  • Índice de vazios inicial \mathrm{e}_{0}=1,5;
  • Índice de compressão \mathrm{C}_{\mathrm{c}}=0,5;
  • Aumento da tensão vertical efetiva 80 \% em relação à tensão inicial.
    a) Determine a variação de espessura da camada de argila devido ao aumento da tensão vertical efetiva.
    b) Apresente o desenvolvimento do cálculo utilizado, indicando a relação entre as tensões inicial e final.
    c) Explique, com base nos conceitos de compressibilidade dos solos, por que o aumento da tensão efetiva provoca redução do índice de vazios e, consequentemente, recalque da camada.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Perguntas:
    a) Determinar a variação de espessura (recalque) da camada de argila devido ao aumento da tensão vertical efetiva.
    b) Apresentar o desenvolvimento do cálculo utilizado, indicando a relação entre as tensões inicial e final.
    c) Explicar, com base nos conceitos de compressibilidade dos solos, por que o aumento da tensão efetiva provoca redução do índice de vazios e, consequentemente, recalque da camada.
  • Dados fornecidos:
    • Espessura inicial da camada: H=3,0\\ \mathrm{m}.
    • Índice de vazios inicial: e_0=1,5.
    • Índice de compressão: C_c=0,5.
    • Aumento da tensão vertical efetiva igual a 80\% da tensão inicial (isto é, a tensão efetiva final é 1+0,8=1,8 vezes a inicial).
A partir daqui vou desenvolver passo a passo o cálculo e a explicação pedida.

Passo 2

Qual a fórmula que usamos e o que ela significa (aula rapidinha e prática).
Para uma argila normalmente adensada (normalmente consolidada) a relação entre a variação do índice de vazios \Delta e e a variação da tensão efetiva segue a lei empírica linear em escala logarítmica:
\Delta e = C_c\;\log_{10}\!\left(\dfrac{\sigma'_{zf}}{\sigma'_{zi}}\right),
onde:
  • \Delta e é a queda do índice de vazios (valor positivo quando o solo adensa);
  • C_c é o índice de compressão (dado);
  • \sigma'_{zi} é a tensão vertical efetiva inicial;
  • \sigma'_{zf} é a tensão vertical efetiva final;
  • \log_{10} é o logaritmo decimal.
Depois de obter \Delta e, o recalque (redução na espessura) da camada S (ou \Delta H) para condição uniforme é dado por:
S = H\;\frac{\Delta e}{1+e_0},
onde 1+e_0 é a razão entre volume total e volume sólido (fator de conversão do índice de vazios para deformação vertical).
Vou agora aplicar essas fórmulas com os dados do problema.

Passo 3

Relacionando as tensões inicial e final (parte b pedida explicitamente).
O enunciado diz que a tensão efetiva aumenta 80\% em relação à tensão inicial. Logo:
\sigma'_{zf} = \sigma'_{zi}\,(1+0,8) = 1,8\,\sigma'_{zi}.
Essa é a relação direta entre tensão final e inicial que o enunciado pediu que fosse indicada.

Passo 4

Calcular \Delta e usando a fórmula de compressibilidade.
Substituindo a razão das tensões na fórmula:
\Delta e = C_c\;\log_{10}\!\left(\dfrac{\sigma'_{zf}}{\sigma'_{zi}}\right) = C_c\;\log_{10}(1,8).
Agora avaliamos \log_{10}(1,8). Uma forma prática sem usar calculadora é usar identidades de logaritmo:
\log_{10}(1,8)=\log_{10}(18)-1,
e
\log_{10}(18)=\log_{10}(2\cdot 9)=\log_{10}(2)+\log_{10}(9)=\log_{10}(2)+2\log_{10}(3).
Usando valores conhecidos de logaritmos decimais:
\log_{10}(2)\approx 0,3010,\qquad \log_{10}(3)\approx 0,4771,
temos
\log_{10}(18)\approx 0,3010 + 2\cdot 0,4771 = 1,2552,
portanto
\log_{10}(1,8)=1,2552-1 = 0,2552.
Agora \Delta e:
\Delta e = C_c\cdot 0,2552 = 0,5\cdot 0,2552 = 0,1276.
Ou seja, o índice de vazios diminui em aproximadamente 0,1276 unidades.

Passo 5

Calcular o recalque S (variação de espessura) usando a fórmula do passo 2.
A fórmula é
S = H\;\frac{\Delta e}{1+e_0}.
Substituindo H=3,0\\ \mathrm{m}, \Delta e=0,1276 e e_0=1,5 (logo 1+e_0=2,5):
S = 3,0\cdot \dfrac{0,1276}{2,5}.
Calculando em etapas:
3,0\cdot 0,1276 = 0,3828,
S = \dfrac{0,3828}{2,5} = 0,15312\\ \mathrm{m}.
Arredondando com sentido prático de projeto:
S \approx 0,153\\ \mathrm{m} = 153\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Interpretação física e explicação conceitual (resposta para c), em linguagem clara e intuitiva).
  • Conceito de tensão eficaz: a resistência do solo e sua deformação são controladas pela tensão eficaz \sigma'= tensão total - pressão de poros. Quando um aterro aumenta a carga no topo, a tensão total aumenta e, inicialmente, surgem pressões de poros excessivas; com o tempo essas pressões dissipam e a tensão efetiva no esqueleto do solo aumenta.
  • Por que a tensão efetiva maior reduz o índice de vazios: ao aumentar \sigma', as partículas do solo passam a suportar maior esforço normal entre si. Isso leva ao rearranjo das partículas e à expulsão de água dos vazios (no caso de solo saturado), diminuindo o volume de vazios por unidade de volume de sólidos — ou seja, o índice de vazios e diminui. Para argilas normalmente consolidadas essa redução segue aproximadamente a relação logarítmica em tensão (a curva e versus \log\sigma'), cujo declive é medido por C_c.
  • Consequência prática (recalque): a diminuição do índice de vazios corresponde a redução do volume total da camada. Como a camada ocupa uma altura inicial H, essa redução volumétrica se manifesta como assentamento vertical S. Em termos simples: mais tensão eficaz → partículas mais “encaixadas” + água expulsa → menor volume → recalque.
  • Observação sobre tempo: o processo descrito é o de consolidação primária (dissipação de pressão de poros e acomodação granular). Dependendo da permeabilidade da argila, essa dissipação pode levar muito tempo (meses ou anos), razão pela qual medidas de controle e cálculo de tempo de consolidação são relevantes em engenharia geotécnica.

Resposta

a) S \approx 0,153\\ \mathrm{m} (ou 153\\ \mathrm{mm}).
b) Relação entre tensões: \sigma'_{zf}=1,8\,\sigma'_{zi}. Cálculo intermediário: \Delta e = C_c\log_{10}(1,8)\approx 0,5\cdot 0,2552=0,1276, e S=H\frac{\Delta e}{1+e_0}=3,0\cdot\frac{0,1276}{2,5}\approx0,153\\ \mathrm{m}.
c) Aumento da tensão efetiva provoca rearranjo das partículas e expulsão de água dos vazios, reduzindo o índice de vazios e (lei \Delta e=C_c\log_{10}(\sigma'_{zf}/\sigma'_{zi}) para argilas normalmente adensadas) e, portanto, causando o recalque da camada.

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