Durante um eclipse total, o disco da lua cobre perfeitamente o disco do sol. Supondo que o sol esteja 400 vezes mais distante do que a lua, (a) calcule a razão entre o diâmetro do sol e o diâmetro da lua (b) Qual é a razão entre os volumes dos dois astros? (c) Mantenha um dos olhos fechado, afaste uma moeda do rosto até ela eclipsar totalmente a lua cheia e meça o ângulo subtendido pela moeda. Usando este resultado experimental e a distância entre a terra e a lua (
, aproximadamente), dê uma estimativa para o diâmetro da lua.
Passo 1
O enunciado descreve um eclipse total em que o disco da Lua encobre perfeitamente o disco do Sol. Sabemos que a distância Sol–Terra é 400 vezes maior que a distância Lua–Terra. Pede-se:
a) a razão entre o diâmetro do Sol e o da Lua;
b) a razão entre os volumes dos dois astros;
c) usando uma moeda que, ao ser aproximada do olho, tem o mesmo tamanho aparente da Lua cheia, medir esse ângulo e, sabendo a distância Terra–Lua , estimar o diâmetro da Lua.
a) a razão entre o diâmetro do Sol e o da Lua;
b) a razão entre os volumes dos dois astros;
c) usando uma moeda que, ao ser aproximada do olho, tem o mesmo tamanho aparente da Lua cheia, medir esse ângulo e, sabendo a distância Terra–Lua
Para resolver usaremos geometria de triângulos semelhantes (parte a e b) e a fórmula do pequeno ângulo (parte c):
Passo 2
Como durante o eclipse a Lua e o Sol têm o mesmo tamanho angular visto da Terra, vale
onde
é diâmetro e
é distância até a Terra. Mas
. Logo,
Passo 3
O volume de uma esfera é proporcional ao cubo do seu diâmetro, portanto
Passo 4
Quando você posiciona a moeda de diâmetro
a uma distância
do olho, ela subtende um ângulo
Como esse mesmo ângulo é o da Lua cheia, o diâmetro lunar é
Passo 5
Suponha que você usou uma moeda de diâmetro
e ajustou a distância para
até ela cobrir exatamente a Lua. Então
Com
,
Isso dá cerca de
km, valor próximo dos
km reais.
Resposta
a)
b)
c) Usando a moeda obtemos cerca de .
b)
c) Usando a moeda obtemos cerca de