Durante um eclipse total, o disco da lua cobre perfeitamente o disco do sol. Supondo que o sol esteja 400 vezes mais distante do que a lua, (a) calcule a razão entre o diâmetro do sol e o diâmetro da lua (b) Qual é a razão entre os volumes dos dois astros? (c) Mantenha um dos olhos fechado, afaste uma moeda do rosto até ela eclipsar totalmente a lua cheia e meça o ângulo subtendido pela moeda. Usando este resultado experimental e a distância entre a terra e a lua ( 3,8 \times 10^{\wedge} 7 \mathrm{~km}, aproximadamente), dê uma estimativa para o diâmetro da lua.

Passo 1

O enunciado descreve um eclipse total em que o disco da Lua encobre perfeitamente o disco do Sol. Sabemos que a distância Sol–Terra é 400 vezes maior que a distância Lua–Terra. Pede-se:
a) a razão entre o diâmetro do Sol e o da Lua;
b) a razão entre os volumes dos dois astros;
c) usando uma moeda que, ao ser aproximada do olho, tem o mesmo tamanho aparente da Lua cheia, medir esse ângulo e, sabendo a distância Terra–Lua \displaystyle 3{,}8\times10^{5}\,\mathrm{km}, estimar o diâmetro da Lua.
Para resolver usaremos geometria de triângulos semelhantes (parte a e b) e a fórmula do pequeno ângulo (parte c):
\theta\approx\frac{\text{diâmetro}}{\text{distância}}\quad(\theta\text{ em radianos}).ââ

Passo 2

Como durante o eclipse a Lua e o Sol têm o mesmo tamanho angular visto da Terra, vale
\frac{D_{\odot}}{R_{\odot}} \;=\;\frac{D_{\leftmoon}}{R_{\leftmoon}}
onde D é diâmetro e R é distância até a Terra. Mas R_{\odot}=400\,R_{\leftmoon}. Logo,
\frac{D_{\odot}}{D_{\leftmoon}} =\frac{R_{\odot}}{R_{\leftmoon}} =400.

Passo 3

O volume de uma esfera é proporcional ao cubo do seu diâmetro, portanto
\frac{V_{\odot}}{V_{\leftmoon}} =\Bigl(\frac{D_{\odot}}{D_{\leftmoon}}\Bigr)^{3} =400^{3} =64\times10^{6}.

Passo 4

Quando você posiciona a moeda de diâmetro \displaystyle D_{\rm m} a uma distância d do olho, ela subtende um ângulo
\theta\approx\frac{D_{\rm m}}{d}\quad(\text{rad}).
Como esse mesmo ângulo é o da Lua cheia, o diâmetro lunar é
D_{\leftmoon} =\theta\,R_{\leftmoon} \approx\frac{D_{\rm m}}{d}\;R_{\leftmoon}.

Passo 5

Suponha que você usou uma moeda de diâmetro \displaystyle D_{\rm m}=2{,}0\\ \mathrm{cm} e ajustou a distância para d=2{,}3\\ \mathrm m até ela cobrir exatamente a Lua. Então
\theta\approx\frac{0{,}020\\ \mathrm m}{2{,}3\\ \mathrm m} \approx8{,}7\times10^{-3}\\ \mathrm{rad} \quad(\approx0{,}5^\circ).
Com R_{\leftmoon}=3{,}8\times10^{5}\,\mathrm{km},
D_{\leftmoon} \approx8{,}7\times10^{-3}\times3{,}8\times10^{5}\,\mathrm{km} \approx3{,}3\times10^{3}\,\mathrm{km}.
Isso dá cerca de 3300 km, valor próximo dos 3474 km reais.

Resposta

a) D_{\odot}/D_{\leftmoon}=400
b) V_{\odot}/V_{\leftmoon}=400^{3}=6{,}4\times10^{7}
c) Usando a moeda obtemos cerca de 3{,}3\times10^{3}\,\mathrm{km}.

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