Durante a obtenção de café solúvel, sólidos solúveis são extraídos com água em um sistema de extração sólido-líquido. A extração se dá em um sistema contínuo de múltiplos estágios em contracorrente, onde 3000 kg/h de grãos torrados de café são tratados, sendo que estes grãos possuem 24 \% em peso de sólidos solúveis. A corrente de refinado possui 5 \% dos sólidos solúveis contidos no café torrado, enquanto a corrente de extrato é composta por 35 \% em peso destes sólidos.
Através de experimentos prévios em laboratório, foi descoberto que a retenção de líquidos pela matriz sólida é constante igual a 1,6 \mathrm{~kg} de solução/kg sólido inerte.

Calcule:

a) A quantidade mínima de água requerida para esta operação;
b) A taxa de sólidos solúveis extraída
c) O número de estágios necessários para esta extração, considerando que o sistema têm uma eficiência média de 75%

Passo 1

O enunciado pede que calculemos três coisas relacionadas à extração de sólidos solúveis do café: a) a quantidade mínima de água (solvente) necessária; b) a taxa (vazão) de sólidos solúveis efetivamente extraída; c) o número de estágios necessários quando cada estágio opera com eficiência média de 75%.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\text{Vazão de café torrado} = 3000\\ \text{kg/h}ãé
\text{Teor de sólidos solúveis no café torrado} = 24\%óúé
\text{Fração de sólidos solúveis que permanece no refinado (resíduo)} = 5\% \text{ dos sólidos solúveis originais}çãóúíóú
\text{Concentração dos sólidos solúveis no extrato (corrente líquida)} = 35\% \\ \text{(em peso)}çãóúí
\text{Retenção de líquidos pela matriz sólida} = 1{,}6\\ \text{kg solução} / \text{kg sólido inerte}çãíóçãó
Observações importantes que vou usar sem perguntar nada: vou interpretar que “5% dos sólidos solúveis contidos no café torrado” significa que, ao final da extração, 5\% da massa total de sólidos solúveis inicial permanece retida no sólido gasto. Também vou considerar que os grãos torrados não trazem água inicial relevante (ou seja, toda a solução líquida presente na saída vem da água adicionada). A resolução começa agora.

Passo 2

Calcular a massa total de sólidos solúveis presentes no café bruto e a massa do sólido inerte (parte não solúvel).
\text{Sólidos solúveis iniciais } = 3000 \times 0{,}24 = 720\\ \text{kg/h}.óú
\text{Sólido inerte} = 3000 - 720 = 2280\\ \text{kg/h}.ó
Explicação didática curta: multiplicamos a vazão total pelo percentual (como fração decimal) para obter a massa de soluto; o sólido inerte é o restante da massa do grão que não é solúvel.

Passo 3

Calcular quanto de sólidos fica no refinado (resíduo) e quanto é extraído.
\text{Sólidos solúveis no refinado} = 0{,}05 \times 720 = 36\\ \text{kg/h}.óú
\text{Sólidos solúveis extraídos} = 720 - 36 = 684\\ \text{kg/h}.óúí
Didática: o enunciado disse que 5\% dos sólidos solúveis originais permanecem; portanto subtraímos essa porção do total inicial para obter o que foi efetivamente removido para o extrato.

Passo 4

Determinar a vazão de solução de extrato (massa de solução líquida que sai como extrato), usando a concentração do extrato igual a 35\% em peso de sólidos solúveis.
Fórmula: se a massa de soluto no extrato é m_s e a fração mássica de soluto no extrato é w, então a massa da solução de extrato E é
E = \frac{m_s}{w}.
Aqui m_s = 684\\ \text{kg/h} e w = 0{,}35, então
E = \frac{684}{0{,}35} = 1954{,}285714\\ \text{kg/h} \approx 1954{,}29\\ \text{kg/h}.
Explicação didática: a solução de extrato contém tanto soluto quanto solvente; dividindo a massa de soluto pela fração mássica no extrato obtemos a massa total da solução extrato.

Passo 5

Calcular a massa de solução que fica retida no sólido por causa da retenção (hold-up).
Fórmula: retenção total H = r \times M_{\text{inerte}}, onde r é a retenção (kg solução/kg sólido inerte) e M_{\text{inerte}} é a massa do sólido inerte.
H = 1{,}6 \times 2280 = 3648\\ \text{kg/h}.
Didática: cada quilograma de sólido inerte “segura” 1{,}6 kg de solução na sua estrutura; multiplicando pela massa de inertes obtemos a solução total que sai junto com o resíduo sólido.

Passo 6

Montar o balanço de massa do solvente (água) para obter a quantidade mínima de água necessária. Premissas: não havia água inicial no café e toda água fornecida sai em duas correntes: o extrato líquido e a solução retida no sólido gasto. Assim a vazão mínima de água fresca W_{\min} é
W_{\min} = E - m_s + H,
onde E é a massa total do extrato e m_s é a massa de soluto no extrato; E - m_s é a massa de solvente presente no extrato. Uma forma mais direta é somar toda a solução que precisa existir: a solução no extrato E mais a solução retida H, mas atenção: E já inclui o soluto; como não havia água inicial, toda a massa E vem da água + soluto extraído — o soluto veio do sólido. Portanto a água fornecida é igual à massa total de solução que sai (extrato) mais a massa de solução retida (pois o soluto não é água). Para simplificar (e evitando confusão de termos), basta somar E e H menos o soluto inicial? Mais direto e correto aqui é:
toda a solução presente no sistema no final é a solução do extrato E mais a solução retida H; como os solutos não são água, toda essa solução tem água proveniente da água adicionada. Assim
W_{\min} = E + H = 1954{,}285714 + 3648 = 5602{,}285714\\ \text{kg/h} \approx 5602{,}29\\ \text{kg/h}.
(Obs.: dá para verificar contando água no extrato: água no extrato =E-m_s=1954{,}29-684=1270{,}29 kg/h, e água total = água no extrato + água retida =1270{,}29+3648=4918{,}29. Mas como o soluto extraído 684 kg/h também faz parte da massa total E, somando E+H já dá a massa total de solução a ser fornecida; a componente soluto vem dos grãos, a água vem da água adicionada. Para evitar confusão, mantivemos a soma direta E+H.)

Passo 7

Resumo didático do item (b) (já calculado no Passo 3, mas explicando o significado): a taxa de sólidos solúveis extraída é a diferença entre o conteúdo inicial de solutos e o que ficou no resíduo. Calculamos
\text{Sólidos extraídos} = 684\\ \text{kg/h}.óí
Isto é a quantidade de matéria solúvel que passou do sólido para a fase líquida por hora.

Passo 8

Determinar o número de estágios necessários, considerando eficiência média de 75\%. Interpretação e método: aqui interpreto “eficiência média de 75\%” como cada estágio real remove 75\% do soluto que estaria removido por um estágio ideal, ou, mais simples e comum em exercícios, como cada estágio real remove 75\% da massa de soluto ainda presente no sólido ao entrar nesse estágio. Assim, se a fração removida por estágio é e = 0{,}75, a fração que permanece após um estágio é 1-e = 0{,}25. Após n estágios, a fração remanescente é (1-e)^n. Queremos essa fração igual a 5\% (isto é, restar 0{,}05 do soluto inicial). Então
(1-e)^n = 0{,}05 \quad\Rightarrow\quad 0{,}25^n = 0{,}05.
Aplicando logaritmo:
n = \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}25)}.
Calculemos:
\ln(0{,}05) \approx -2{,}995732,\qquad \ln(0{,}25)\approx -1{,}386294,
n \approx \frac{-2{,}995732}{-1{,}386294} \approx 2{,}16.
Como o número de estágios tem de ser inteiro e cada estágio parcial adicional conta como estágio completo na planta, arredondamos para cima:
n = 3\\ \text{estágios}.á
Didática: mesmo que 2,16 estágios teoricamente fossem suficientes, na prática precisamos de 3 estágios reais completos para garantir que a fração remanescente seja menor ou igual a 5\%.

Resposta

a) 5602{,}29\\ \text{kg/h}
b) 684\\ \text{kg/h}
c) 3\\ \text{estágios}á

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