Durante um processo de têmpera a ar, uma placa de aço inoxidável sai do forno a 250^{\circ} \mathrm{C} e é resfriada por escoamento de ar ambiente a 25^{\circ} \mathrm{C}, com velocidade de 2,5 \mathrm{m} / \mathrm{s}. O comprimento da placa exposta ao ar é de 1,2 \mathrm{~m}.
Propriedades do ar a 25^{\circ} \mathrm{C} : v=1,6 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, \operatorname{Pr}=0,7, k=0,026 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}.
Com base no equacionamento apresentado em sala para a placa plana, calcule:
a) O número de Reynolds local no final da placa e classifique o regime de escoamento
b) A espessura da camada limite hidrodinâmica, se o regime for laminar.
c) O coeficiente local de transferência de calor ( \mathrm{h}_{\mathrm{x}} ).
d) A partir dos valores obtidos, discuta: o valor de h_{x} obtido é suficiente para garantir um resfriamento rápido? Se a velocidade do ar dobrar, o que acontece com a espessura da camada limite?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre uma placa plana submetida a escoamento de ar:
a) Calcular o número de Reynolds local no final da placa e classificar o regime de escoamento.
b) Calcular a espessura da camada limite hidrodinâmica no final da placa, assumindo regime laminar.
c) Calcular o coeficiente local de troca de calor h_x no final da placa.
d) Discutir se o valor de h_x obtido é suficiente para um resfriamento rápido e o que acontece com a espessura da camada limite se a velocidade do ar dobrar.
Dados fornecidos (vou listar tudo, sem assumir nada extra):
  • Velocidade do ar: U_\infty = 2{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_\infty = 25^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura inicial da placa: T_s = 250^{\circ}\mathrm{C} (informação de contexto para discutir resfriamento).
  • Comprimento exposto da placa: x = 1{,}20\\ \mathrm{m} (o problema pede o Reynolds no final da placa, então usaremos x=1{,}20\\ \mathrm{m}).
  • Propriedades do ar a 25^{\circ}\mathrm{C}: viscosidade cinemática \nu = 1{,}6\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}, Prandtl \mathrm{Pr}=0{,}7, condutividade térmica k=0{,}026\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Observação: as fórmulas que usarei são as usuais para placa plana em escoamento externo (regras e coeficientes locais para camada limite laminar). Vou explicar cada fórmula e símbolo quando usá-las.

Passo 2

Calcular o número de Reynolds local no final da placa.
Definição e explicação: o número de Reynolds local é dado por
\mathrm{Re}_x = \frac{U_\infty\, x}{\nu},
onde \mathrm{Re}_x é adimensional, U_\infty é a velocidade livre (m/s), x é a distância desde a borda de ataque até o ponto considerado (m) e \nu é a viscosidade cinemática (m^2/s). Esse número compara efeitos inerciais e viscosos; valores grandes indicam que a inércia domina e pode ocorrer transição/turbulência.
Agora substituo os valores:
\mathrm{Re}_x = \frac{2{,}5 \times 1{,}20}{1{,}6\times 10^{-5}}.
Faço a conta passo a passo:
2{,}5\times 1{,}20 = 3{,}0.
\mathrm{Re}_x = \frac{3{,}0}{1{,}6\times 10^{-5}} = \frac{3{,}0}{0{,}000016} = 187\,500.
Em notação científica:
\mathrm{Re}_x = 1{,}875\times 10^{5}.

Passo 3

Classificar o regime de escoamento com base em \mathrm{Re}_x.
Explicação rápida: para uma placa plana com escoamento externo, a transição laminar→turbulento normalmente ocorre em torno de \mathrm{Re}_x \approx 3\times 10^{5} a 5\times 10^{5} dependendo das condições (rugosidade, perturbações). Um critério comumente usado é tomar \mathrm{Re}_x \approx 5\times 10^{5} como valor típico de transição em laboratório; abaixo disso considera-se laminar.
Comparando:
\mathrm{Re}_x = 1{,}875\times 10^{5} < 5\times 10^{5},
portanto, o escoamento sobre a placa, até o final ( x=1{,}2\\ \mathrm{m}), pode ser considerado laminar nas condições usuais.

Passo 4

Calcular a espessura da camada limite hidrodinâmica \delta no final da placa (caso laminar).
Teoria e fórmula: para escoamento laminar sobre uma placa plana (perfil de Blasius) a espessura de deslocamento completa não é trivial, mas uma expressão prática para a espessura onde a velocidade atinge 99% do livre-escoamento (denotada \delta_{99}) é
\delta_{99} \approx \frac{5\,x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}.
Aqui \delta_{99} tem dimensão de comprimento (m), x é a distância desde a borda de ataque (m) e \mathrm{Re}_x é o Reynolds local. A raiz aparece porque a solução de Blasius dá escalamento \delta \sim x/\sqrt{\mathrm{Re}_x}.
Substituo os valores já calculados:
\delta_{99} \approx \frac{5\times 1{,}20}{\sqrt{187\,500}}.
Calculo a raiz:
\sqrt{187\,500}\approx 433{,}013.
Agora:
\delta_{99} \approx \frac{6{,}0}{433{,}013} \approx 0{,}01386\\ \mathrm{m}.
Em milímetros:
\delta_{99} \approx 13{,}9\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: isso significa que, ao longo dos 1{,}20\\ \mathrm{m} da placa, a camada limite laminar desenvolvida terá em torno de 14\\ \mathrm{mm} de espessura onde a velocidade chega a 99% de U_\infty.

Passo 5

Calcular o coeficiente local de transferência de calor h_x no final da placa.
Teoria e fórmulas:
  • O número de Nusselt local \mathrm{Nu}_x para fluxo laminar sobre placa plana (condição de superfície isoterma e \mathrm{Pr}\gtrsim 0{,}6) é dado por:
\mathrm{Nu}_x = 0{,}332\,\mathrm{Re}_x^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Aqui \mathrm{Nu}_x = \dfrac{h_x\,x}{k}, onde h_x é o coeficiente convectivo local (W/m^2K), x é a distância (m) e k é a condutividade térmica do fluido (W/m·K).
Procedimento: primeiro calculo \mathrm{Nu}_x, depois isolarei h_x:
\mathrm{Nu}_x = 0{,}332\;\sqrt{\mathrm{Re}_x}\;\mathrm{Pr}^{1/3}.
Valores já conhecidos:
\sqrt{\mathrm{Re}_x} \approx 433{,}013, \mathrm{Pr}=0{,}7. Calculo \mathrm{Pr}^{1/3}:
\mathrm{Pr}^{1/3} = 0{,}7^{1/3} \approx 0{,}888.
Agora
\mathrm{Nu}_x = 0{,}332\times 433{,}013 \times 0{,}888 \approx 127{,}6.
Agora relaciono \mathrm{Nu}_x com h_x:
\mathrm{Nu}_x = \frac{h_x\, x}{k} \quad\Rightarrow\quad h_x = \frac{k\,\mathrm{Nu}_x}{x}.
Substituo k=0{,}026\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, \mathrm{Nu}_x\approx 127{,}6, x=1{,}20\\ \mathrm{m}:
h_x = \frac{0{,}026\times 127{,}6}{1{,}20} \approx \frac{3{,}316}{1{,}20} \approx 2{,}76\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Interpretação: o coeficiente local de troca de calor no final da placa é aproximadamente 2{,}8\\ \mathrm{W/(m^2K)}.

Passo 6

Discutir se h_x obtido é suficiente para garantir um resfriamento rápido e o efeito de dobrar a velocidade do ar sobre a espessura da camada limite (incluo números e explicações).
Primeiro, interpretação do número obtido: h_x \approx 2{,}8\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Explicação física simples: o fluxo de calor por convecção na superfície é q'' = h_x\,(T_s - T_\infty). Mesmo com uma grande diferença de temperatura (a placa a 250^{\circ}\mathrm{C} e ar a 25^{\circ}\mathrm{C}, \Delta T=225\\ \mathrm{K}), um h da ordem de poucos \mathrm{W/(m^2K)} significa que a remoção de calor por unidade de área é relativamente baixa em comparação com processos de resfriamento rápido (onde tipicamente se busca h na casa das dezenas a centenas \mathrm{W/(m^2K)}, por exemplo em resfriamento em fluxo forçado intenso ou em imersão em fluido). Portanto, com h_x\approx 2{,}8 a retirada de calor da placa será moderada/lenta — não é um valor que caracterize “resfriamento rápido” em processos industriais onde se deseja quench rápido. Em outras palavras: esse h_x é baixo, então o resfriamento por esse escoamento de ar a 2{,}5\\ \mathrm{m/s} será relativamente lento; o resfriamento rápido exigiria aumentar muito o fluxo convectivo (aumentar velocidade, usar um fluido com maior condutividade/viscosidade adequada, ou usar resfriamento por imersão).
Agora, efeito de dobrar a velocidade do ar: U_\infty \to 2U_\infty = 5{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Escalamentos úteis (explicação): para placas em regime laminar:
  • \mathrm{Re}_x \propto U_\infty.
  • \delta \sim x/\sqrt{\mathrm{Re}_x} \Rightarrow \delta \propto 1/\sqrt{U_\infty}. Ou seja, se a velocidade dobra, a espessura da camada limite diminui pelo fator 1/\sqrt{2}\approx 0{,}707.
  • \mathrm{Nu}_x \propto \mathrm{Re}_x^{1/2}\Rightarrow \mathrm{Nu}_x \propto \sqrt{U_\infty}. Como h_x = k\,\mathrm{Nu}_x/x, então h_x\propto \sqrt{U_\infty}. Logo, dobrar a velocidade aumenta h_x por um fator \sqrt{2}\approx 1{,}414.
Faço os cálculos numéricos rápidos para U_\infty=5{,}0\\ \mathrm{m/s}:
  • Novo \mathrm{Re}_x:
\mathrm{Re}_x' = 2\times 187\,500 = 375\,000.
  • Nova espessura:
\delta_{99}' \approx \frac{5x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x'}} = \frac{6{,}0}{\sqrt{375\,000}} \approx \frac{6{,}0}{612{,}372} \approx 0{,}00980\\ \mathrm{m} = 9{,}8\\ \mathrm{mm}.
Comparação: 0{,}00980/0{,}01386 \approx 0{,}707 (redução conforme 1/\sqrt{2}).
  • Novo \mathrm{Nu}_x':
\mathrm{Nu}_x' = 0{,}332\sqrt{375\,000}\,0{,}7^{1/3} \approx 0{,}332\times 612{,}372\times 0{,}888 \approx 180{,}4.
  • Novo h_x':
h_x' = \frac{k\,\mathrm{Nu}_x'}{x} = \frac{0{,}026\times 180{,}4}{1{,}20} \approx 3{,}91\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Comparação: h_x'/h_x \approx 3{,}91/2{,}76 \approx 1{,}415, ou seja aproximadamente \sqrt{2}, conforme o argumento escalonado.
Conclusão dessa discussão: dobrar a velocidade torna a camada limite mais fino (reduz para cerca de 70,7% do anterior) e aumenta o coeficiente convectivo local em cerca de 41% (fator \sqrt{2}), mas ainda assim os valores permanecem baixos em termos absolutos para “resfriamento rápido” — seria preciso aumentar muito mais a velocidade ou mudar a estratégia de resfriamento para obter h na casa de dezenas de \mathrm{W/(m^2K)}.

Resposta

a) \mathrm{Re}_x = 1{,}875\times 10^{5}. Regime: laminar (pois \mathrm{Re}_x<5\times 10^{5}).
b) \delta_{99}\approx 0{,}0139\\ \mathrm{m} (aprox. 13{,}9\\ \mathrm{mm}).
c) h_x \approx 2{,}76\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
d) O valor h_x\approx 2{,}8\\ \mathrm{W/(m^2K)} é relativamente baixo — não é suficiente para um resfriamento industrialmente “rápido”; aumentos substanciais no fluxo convectivo ou mudança de método (ex.: resfriamento por jato mais forte ou imersão) seriam necessários. Se a velocidade do ar dobrar: \delta_{99} reduz por um fator 1/\sqrt{2} (vai para \approx 9{,}8\\ \mathrm{mm}) e h_x aumenta por um fator \sqrt{2} (vai para \approx 3{,}91\\ \mathrm{W/(m^2K)}).

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