Durante um show, a intensidade sonora nas proximidades do palco era de aproximadamente 1 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. Sabendo que a intensidade mínima para a audição humana é de 10^{-12} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, determine o nível de intensidade sonora na região do palco:

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação:
I = 1\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}
e informa que a intensidade mínima audível é
I_0 = 10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
A pergunta é: determinar o nível de intensidade sonora na região do palco (ou seja, o valor do nível sonoro em decibéis).

Passo 2

Vamos usar a definição do nível de intensidade sonora em decibéis. A fórmula é
L = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right).
Explicando cada termo:
  • L é o nível sonoro, em decibéis ( \mathrm{dB}).
  • I é a intensidade sonora que estamos medindo, em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • I_0 é a intensidade de referência (limiar da audição), em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • \log_{10} é o logaritmo na base 10.
    O fator 10 aparece porque o decibel é uma escala logarítmica para quantidades de potência (ou intensidade). Um aumento de 10\\ \mathrm{dB} corresponde a multiplicar a intensidade por 10.

Passo 3

Calculemos a razão dentro do logaritmo usando os valores dados:
\frac{I}{I_0} = \frac{1\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}}{10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}}.
As unidades cancelam, ficando apenas uma razão numérica. Pelo cálculo de potências de 10,
\frac{1}{10^{-12}} = 10^{12}.

Passo 4

Agora aplicamos o logaritmo na base 10. Usamos a propriedade \log_{10}(10^{a}) = a:
\log_{10}\!\left(10^{12}\right) = 12.

Passo 5

Multiplicamos pelo fator 10 da fórmula para obter o nível sonoro:
L = 10 \times 12 = 120.
A unidade é decibel ( \mathrm{dB}), então o nível sonoro é 120\\ \mathrm{dB}.

Resposta

120\\ \mathrm{dB}

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