A dureza da água advinda de duas instalações de tratamento de água é investigada. O valor observado da dureza da água (em ppm) de uma amostra aleatória de torneiras é apresentado a seguir:
Instalação 1: 63 57 58 62 66 58 61 60 55 62 59 60 58
Instalação 2: 69 65 59 62 61 57 59 60 60 62 61 66 68 66
Use \alpha=0,05.
a) Assuma que \sigma_{1}=\sigma_{2}. Existe evidência para suportar a declaração de que as duas instalações fornecem água com durezas diferentes?
b) Encontre o valor P para o teste (a).
c) Assuma que as variâncias não são iguais. Realize o teste para essa premissa.
d) Encontre o valor P para o teste (c).
e) Compare os resultados desses testes.
f) Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a diferença da dureza média da água para o item (a)
g) Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a diferença da dureza média da água para o item (c).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados (valores de dureza em ppm):
  • Instalação 1: 63,\,57,\,58,\,62,\,66,\,58,\,61,\,60,\,55,\,62,\,59,\,60,\,58.
  • Instalação 2: 69,\,65,\,59,\,62,\,61,\,57,\,59,\,60,\,60,\,62,\,61,\,66,\,68,\,66.
Nível de significância: \alpha=0,05.
Perguntas:
a) Assumindo \sigma_1=\sigma_2 (variâncias iguais), existe evidência de que as médias das durezas sejam diferentes? (teste bilateral)
b) Encontre o valor P (p-valor) para o teste (a).
c) Assumindo variâncias diferentes, realize o teste (teste de Welch).
d) Encontre o valor P para o teste (c).
e) Compare os resultados dos dois testes.
f) Construa intervalo de confiança de 95\% para \mu_1-\mu_2 usando a suposição de variâncias iguais.
g) Construa intervalo de confiança de 95\% para \mu_1-\mu_2 sem assumir variâncias iguais.

Passo 2

Calcular estatísticas amostrais (vou mostrar como calculei soma, média, soma dos quadrados, variância amostral).
Definições usadas (mini-aula):
  • Para uma amostra com n observações x_1,\dots,x_n, a média amostral é \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
  • A soma dos quadrados é \sum x_i^2.
  • A variância amostral (estimador não viesado) é
s^2=\dfrac{1}{n-1}\Biggl(\sum_{i=1}^n x_i^2-\dfrac{\bigl(\sum_{i=1}^n x_i\bigr)^2}{n}\Biggr).
  • O desvio padrão amostral é s=\sqrt{s^2}.
Agora os cálculos (passo a passo, sem pular etapas):
Instalação 1:
  • n_1=13.
  • Soma: \sum x_{1i}=779.
  • Média:
\bar{x}_1=\dfrac{779}{13}=\dfrac{779}{13}=59{,}9230769\\ (\text{aprox. }59{,}923).
  • Soma dos quadrados: \sum x_{1i}^2=46781.
  • Variância amostral:
s_1^2=\dfrac{1}{12}\Bigl(46781-\dfrac{779^2}{13}\Bigr) =\dfrac{100{,}923077}{12}=8{,}410256\\ (\text{aprox. }8{,}410).
  • Desvio padrão: s_1\approx\sqrt{8{,}410256}=2{,}899 (aprox.).
Instalação 2:
  • n_2=14.
  • Soma: \sum x_{2i}=875.
  • Média:
\bar{x}_2=\dfrac{875}{14}=62{,}5.
  • Soma dos quadrados: \sum x_{2i}^2=54863.
  • Variância amostral:
s_2^2=\dfrac{1}{13}\Bigl(54863-\dfrac{875^2}{14}\Bigr) =\dfrac{175{,}5}{13}=13{,}5.
  • Desvio padrão: s_2=\sqrt{13{,}5}=3{,}674 (aprox.).
Resumo numérico útil:
n_1=13,\\ \bar{x}_1\approx59{,}923,\\ s_1^2\approx8{,}410,\\ s_1\approx2{,}899,
n_2=14,\\ \bar{x}_2=62{,}5,\\ s_2^2=13{,}5,\\ s_2\approx3{,}674.

Passo 3

Teste (a): suposição de variâncias iguais (teste t de duas amostras com variância agrupada).
Mini-aula: quando assumimos \sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2, estimamos \sigma^2 por variância agrupada
s_p^2=\dfrac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2},
e o estatístico de teste para diferença de médias ( \mu_1-\mu_2) é
t=\dfrac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}}
com n_1+n_2-2 graus de liberdade. O teste bilateral rejeita H_0:\mu_1=\mu_2 se |t|>t_{1-\alpha/2,\;n_1+n_2-2}.
Cálculo:
  • Calcular s_p^2:
s_p^2=\dfrac{12\cdot 8{,}410256 + 13\cdot 13{,}5}{25} =\dfrac{100{,}923077+175{,}5}{25}=\dfrac{276{,}423077}{25}=11{,}0569231.
  • Assim s_p\approx\sqrt{11{,}0569231}=3{,}325 (aprox.).
  • Erro padrão conjunto:
\text{SE}_p=s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}} =3{,}325\sqrt{\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{14}} \approx3{,}325\sqrt{0{,}14835165}\approx1{,}281.
  • Estatístico t:
t=\dfrac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\text{SE}_p} =\dfrac{59{,}9230769-62{,}5}{1{,}281}\approx\dfrac{-2{,}5769231}{1{,}281}\approx-2{,}01.
  • Graus de liberdade: df=13+14-2=25.
  • Valor crítico bilateral para \alpha=0{,}05: t_{0{,}975,25}\approx2{,}060.
Decisão:
|t|\approx2{,}01 < 2{,}060, logo não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05. Conclusão: com a suposição de variâncias iguais não há evidência suficiente para afirmar diferença significativa entre as médias (teste bilateral).

Passo 4

Item (b): p-valor do teste com variâncias iguais.
Mini-aula rápida sobre p-valor: p-valor em teste bilateral é P(|T_{df}|\ge|t_{\text{obs}}|). Aqui usamos a distribuição t com df=25.
Cálculo aproximado:
  • Para t_{\text{obs}}= -2{,}01 com df=25, a probabilidade bilateral aproximada é p\approx0{,}055.
    (Explicação curta: t_{0{,}975,25}=2{,}060 corresponde a p=0{,}05; como 2{,}01 é ligeiramente menor, o p é ligeiramente maior que 0{,}05. Usou-se tabela/interpolação da t-distribuição.)
Portanto p\text{ (teste (a))}\approx0{,}055.

Passo 5

Teste (c): suposição de variâncias diferentes (teste de Welch).
Mini-aula: quando não assumimos variâncias iguais usamos o teste de Welch. O estatístico é
t=\dfrac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}}
e os graus de liberdade aproximados são dados pela fórmula de Welch–Satterthwaite:
\nu\approx\dfrac{\bigl(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\bigr)^2} {\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}.
Cálculo passo a passo:
  • Componentes:
a=\dfrac{s_1^2}{n_1}=\dfrac{8{,}410256}{13}\approx0{,}646174, \qquad b=\dfrac{s_2^2}{n_2}=\dfrac{13{,}5}{14}\approx0{,}964286.
  • Erro padrão de Welch:
\text{SE}_w=\sqrt{a+b}=\sqrt{1{,}61046}\approx1{,}269.
  • Estatístico:
t=\dfrac{59{,}9230769-62{,}5}{1{,}269}\approx\dfrac{-2{,}5769231}{1{,}269}\approx-2{,}03.
  • Graus de liberdade (Welch):
\nu\approx\dfrac{(a+b)^2}{\dfrac{a^2}{n_1-1}+\dfrac{b^2}{n_2-1}} \approx\dfrac{1{,}610459^2}{\dfrac{0{,}646174^2}{12}+\dfrac{0{,}964286^2}{13}} \approx\dfrac{2{,}593585}{0{,}106416}\approx24{,}36.
Arredondando usamos \nu\approx24{,}36 (na prática tabelas usam df inteiros, mas cálculo exato usa esse valor).
Decisão:
  • Valor crítico bilateral para \alpha=0{,}05 com \nu\approx24{,}36 é aproximadamente t_{0{,}975,\nu}\approx2{,}064.
  • Como |t|\approx2{,}03 < 2{,}064, não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05.
Conclusão do (c): com variâncias não iguais (teste de Welch) também não há evidência suficiente para diferença entre as médias ao nível 5\%.

Passo 6

Item (d): p-valor do teste de Welch (teste (c)).
  • Para t\approx-2{,}03 com \nu\approx24{,}36, o p-valor bilateral é aproximadamente p\approx0{,}053.
(Observação: ligeiramente menor que o p do caso com variância igual, mas ainda acima de 0{,}05.)

Passo 7

Item (e): comparação dos resultados dos dois testes.
  • Ambos os testes (com variâncias iguais e com variâncias diferentes) deram estatísticas t próximas: |t|\approx2{,}01 (pooled) e |t|\approx2{,}03 (Welch).
  • Ambos os p-valores são maiores que \alpha=0{,}05 ( p\approx0{,}055 e p\approx0{,}053), portanto em ambos os casos não rejeitamos H_0.
  • Interpretação prática: independentemente da hipótese sobre as variâncias, não há evidência estatística suficiente (ao nível 5\%) para afirmar que as instalações produzem médias de dureza diferentes. Os resultados são consistentes entre os dois métodos; a diferença observada das médias ( \approx -2{,}577 ppm) não é estatisticamente significativa a 5\%.

Passo 8

Item (f): intervalo de confiança de 95\% para \mu_1-\mu_2 supondo variâncias iguais (usar s_p e df=25).
Fórmula:
(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm t_{0{,}975,\,25}\; s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}.
Cálculo:
  • Diferença das médias: \bar{x}_1-\bar{x}_2=59{,}9230769-62{,}5=-2{,}5769231.
  • Já calculamos \text{SE}_p\approx1{,}281 e t_{0{,}975,25}\approx2{,}060.
  • Margem de erro: 2{,}060\times1{,}281\approx2{,}639.
  • Intervalo:
-2{,}5769\pm2{,}639 \Rightarrow (\,-5{,}216,\;0{,}062\,)\\ (\text{aprox.}).
Portanto o intervalo de 95\% sob variâncias iguais é aproximadamente \bigl(-5{,}216,\;0{,}062\bigr) (ppm).

Passo 9

Item (g): intervalo de confiança de 95\% para \mu_1-\mu_2 sem assumir variâncias iguais (intervalo de Welch).
Fórmula (analoga ao teste de Welch):
(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm t_{0{,}975,\,\nu}\;\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}},
onde \nu é o grau de liberdade de Welch calculado antes ( \nu\approx24{,}36).
Cálculo:
  • Já obtivemos \text{SE}_w\approx1{,}269 e \nu\approx24{,}36. Tomamos t_{0{,}975,\nu}\approx2{,}064.
  • Margem de erro: 2{,}064\times1{,}269\approx2{,}620.
  • Intervalo:
-2{,}5769\pm2{,}620 \Rightarrow (\,-5{,}197,\;0{,}043\,)\\ (\text{aprox.}).
Resultado: intervalo de 95\% sem assumir variâncias iguais é aproximadamente \bigl(-5{,}197,\;0{,}043\bigr) (ppm).

Resposta

a) Não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05; não há evidência estatística de diferença entre as médias (teste com variâncias iguais).
b) p\text{ (teste com variâncias iguais)}\approx0{,}055â.
c) Não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05 (teste de Welch, variâncias diferentes).
d) p\text{ (teste de Welch)}\approx0{,}053.
e) Ambos os testes levam à mesma conclusão: não há evidência significativa a 5\%; p-valores e intervalos são muito próximos.
f) IC 95\% (variâncias iguais): \bigl(-5{,}216,\;0{,}062\bigr) ppm.
g) IC 95\% (variâncias diferentes, Welch): \bigl(-5{,}197,\;0{,}043\bigr) ppm.

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