A dureza da água advinda de duas instalações de tratamento de água é investigada. O valor observado da dureza da água (em ppm) de uma amostra aleatória de torneiras é apresentado a seguir:
Instalação 1: 63 57 58 62 66 58 61 60 55 62 59 60 58
Instalação 2: 69 65 59 62 61 57 59 60 60 62 61 66 68 66
Use
.
a) Assuma que
. Existe evidência para suportar a declaração de que as duas instalações fornecem água com durezas diferentes?
b) Encontre o valor
para o teste (a).
c) Assuma que as variâncias não são iguais. Realize o teste para essa premissa.
d) Encontre o valor
para o teste (c).
e) Compare os resultados desses testes.
f) Construa um intervalo de confiança de
para a diferença da dureza média da água para o item (a)
g) Construa um intervalo de confiança de
para a diferença da dureza média da água para o item (c).
Instalação 2: 69 65 59 62 61 57 59 60 60 62 61 66 68 66
Use
a) Assuma que
b) Encontre o valor
c) Assuma que as variâncias não são iguais. Realize o teste para essa premissa.
d) Encontre o valor
e) Compare os resultados desses testes.
f) Construa um intervalo de confiança de
g) Construa um intervalo de confiança de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados (valores de dureza em ppm):
- Instalação 1:
. - Instalação 2:
.
Nível de significância:
.
Perguntas:
a) Assumindo (variâncias iguais), existe evidência de que as médias das durezas sejam diferentes? (teste bilateral)
b) Encontre o valor (p-valor) para o teste (a).
c) Assumindo variâncias diferentes, realize o teste (teste de Welch).
d) Encontre o valor para o teste (c).
e) Compare os resultados dos dois testes.
f) Construa intervalo de confiança de para
usando a suposição de variâncias iguais.
g) Construa intervalo de confiança de para
sem assumir variâncias iguais.
a) Assumindo
b) Encontre o valor
c) Assumindo variâncias diferentes, realize o teste (teste de Welch).
d) Encontre o valor
e) Compare os resultados dos dois testes.
f) Construa intervalo de confiança de
g) Construa intervalo de confiança de
Passo 2
Calcular estatísticas amostrais (vou mostrar como calculei soma, média, soma dos quadrados, variância amostral).
Definições usadas (mini-aula):
- Para uma amostra com
observações , a média amostral é . - A soma dos quadrados é
. - A variância amostral (estimador não viesado) é
- O desvio padrão amostral é
.
Agora os cálculos (passo a passo, sem pular etapas):
Instalação 1:
-
. - Soma:
. - Média:
- Soma dos quadrados:
. - Variância amostral:
- Desvio padrão:
(aprox.).
Instalação 2:
-
. - Soma:
. - Média:
- Soma dos quadrados:
. - Variância amostral:
- Desvio padrão:
(aprox.).
Resumo numérico útil:
Passo 3
Teste (a): suposição de variâncias iguais (teste t de duas amostras com variância agrupada).
Mini-aula: quando assumimos
, estimamos
por variância agrupada
e o estatístico de teste para diferença de médias (
) é
com
graus de liberdade. O teste bilateral rejeita
se
.
Cálculo:
- Calcular
:
- Assim
(aprox.). - Erro padrão conjunto:
- Estatístico
:
- Graus de liberdade:
. - Valor crítico bilateral para
: .
Decisão:
, logo não rejeitamos
ao nível
. Conclusão: com a suposição de variâncias iguais não há evidência suficiente para afirmar diferença significativa entre as médias (teste bilateral).
Passo 4
Item (b): p-valor do teste com variâncias iguais.
Mini-aula rápida sobre p-valor: p-valor em teste bilateral é
. Aqui usamos a distribuição
com
.
Cálculo aproximado:
- Para
com , a probabilidade bilateral aproximada é .
(Explicação curta:corresponde a ; como é ligeiramente menor, o é ligeiramente maior que . Usou-se tabela/interpolação da -distribuição.)
Portanto
.
Passo 5
Teste (c): suposição de variâncias diferentes (teste de Welch).
Mini-aula: quando não assumimos variâncias iguais usamos o teste de Welch. O estatístico é
e os graus de liberdade aproximados são dados pela fórmula de Welch–Satterthwaite:
Cálculo passo a passo:
- Componentes:
- Erro padrão de Welch:
- Estatístico:
- Graus de liberdade (Welch):
Arredondando usamos
(na prática tabelas usam df inteiros, mas cálculo exato usa esse valor).
Decisão:
- Valor crítico bilateral para
com é aproximadamente . - Como
, não rejeitamos ao nível .
Conclusão do (c): com variâncias não iguais (teste de Welch) também não há evidência suficiente para diferença entre as médias ao nível
.
Passo 6
Item (d): p-valor do teste de Welch (teste (c)).
- Para
com , o p-valor bilateral é aproximadamente .
(Observação: ligeiramente menor que o p do caso com variância igual, mas ainda acima de
.)
Passo 7
Item (e): comparação dos resultados dos dois testes.
- Ambos os testes (com variâncias iguais e com variâncias diferentes) deram estatísticas
próximas: (pooled) e (Welch). - Ambos os p-valores são maiores que
( e ), portanto em ambos os casos não rejeitamos . - Interpretação prática: independentemente da hipótese sobre as variâncias, não há evidência estatística suficiente (ao nível
) para afirmar que as instalações produzem médias de dureza diferentes. Os resultados são consistentes entre os dois métodos; a diferença observada das médias ( ppm) não é estatisticamente significativa a .
Passo 8
Item (f): intervalo de confiança de
para
supondo variâncias iguais (usar
e
).
Fórmula:
Cálculo:
- Diferença das médias:
. - Já calculamos
e . - Margem de erro:
. - Intervalo:
Portanto o intervalo de
sob variâncias iguais é aproximadamente
(ppm).
Passo 9
Item (g): intervalo de confiança de
para
sem assumir variâncias iguais (intervalo de Welch).
Fórmula (analoga ao teste de Welch):
onde
é o grau de liberdade de Welch calculado antes (
).
Cálculo:
- Já obtivemos
e . Tomamos . - Margem de erro:
. - Intervalo:
Resultado: intervalo de
sem assumir variâncias iguais é aproximadamente
(ppm).
Resposta
a) Não rejeitamos
ao nível
; não há evidência estatística de diferença entre as médias (teste com variâncias iguais).
b) .
c) Não rejeitamos ao nível
(teste de Welch, variâncias diferentes).
d) .
e) Ambos os testes levam à mesma conclusão: não há evidência significativa a ; p-valores e intervalos são muito próximos.
f) IC (variâncias iguais):
ppm.
g) IC (variâncias diferentes, Welch):
ppm.
b)
c) Não rejeitamos
d)
e) Ambos os testes levam à mesma conclusão: não há evidência significativa a
f) IC
g) IC