Um fabricante está interessado na voltagem de saída de uma fonte de energia utilizada em um computador. Assume-se que a voltagem de saída seja normalmente distribuída com desvio-padrão de 0,3 volt e o fabricante deseja testar H_{0}: \mu=5 volts contra H_{1}: \mu=/ 5 volts usando n=10 unidades.
a) A região de aceitação é 4,85 \leq X \leq 5,15. Encontre o valor de \alpha.
b) Encontre a potência do teste para detectar uma média verda- deira de voltagem de saída de 4,8 volts.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Hipóteses: H_{0}: \mu=5,\qquad H_{1}: \mu \neq 5.
  • Desvio-padrão conhecido: \sigma=0,3 volt.
  • Tamanho da amostra: n=10.
  • Região de aceitação dada: 4{,}85 \leq \bar{X} \leq 5{,}15.
    As perguntas:
    a) Calcular o nível de significância \alpha (probabilidade de rejeitar H_{0} quando \mu=5).
    b) Calcular a potência do teste quando a verdadeira média é \mu=4{,}8 volts (ou seja, probabilidade de rejeitar H_{0} quando \mu=4{,}8).

Passo 2

Distribuição da média amostral e a transformação para Z (fórmula e significado das variáveis).
Como a voltagem é assumida normal e \sigma é conhecido, a média amostral satisfaz
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
Aqui:
  • \bar{X} é a média das n unidades;
  • \mu é a média verdadeira da população (sob H_{0} vale 5);
  • \sigma é o desvio-padrão da população ( 0,3);
  • \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (quantifica a variabilidade de \bar{X}).
    Para padronizar usamos a variável normal padrão
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}},
que tem distribuição N(0,1). Vou usar isso para calcular probabilidades.

Passo 3

Cálculo de \alpha (probabilidade de rejeitar H_{0} quando \mu=5).
A região de aceitação é 4{,}85\le\bar{X}\le5{,}15, então sob H_{0} (com \mu=5) temos:
\alpha = 1 - P\big(4{,}85\le\bar{X}\le5{,}15 \mid \mu=5\big).
Calculo do erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}3}{\sqrt{10}}.
Avalio numericamente:
\frac{0{,}3}{\sqrt{10}}=\frac{0{,}3}{3{,}1623\ldots}\approx 0{,}09487.
Padronizo os limites (para \mu=5):
z_{\text{inf}}=\frac{4{,}85-5}{0{,}09487}\approx\frac{-0{,}15}{0{,}09487}\approx -1{,}581,
z_{\text{sup}}=\frac{5{,}15-5}{0{,}09487}\approx\frac{0{,}15}{0{,}09487}\approx 1{,}581.
Como a distribuição é simétrica,
P\big(4{,}85\le\bar{X}\le5{,}15\mid\mu=5\big)=\Phi(1{,}581)-\Phi(-1{,}581)=2\Phi(1{,}581)-1,
onde \Phi é a função distribuição padrão. Pela tabela da normal padrão \Phi(1{,}581)\approx 0{,}9431. Logo
P(\text{aceitar}\mid\mu=5)=2(0{,}9431)-1=0{,}8862,
portanto
\alpha=1-0{,}8862=0{,}1138\approx 0{,}114.

Passo 4

Definição e estratégia para a potência quando \mu=4{,}8.
A potência é 1 menos a probabilidade de aceitar H_{0} quando a verdadeira média é \mu=4{,}8:
\text{potência}=P(\text{rejeitar }H_{0}\mid \mu=4{,}8)=1-P\big(4{,}85\le\bar{X}\le5{,}15\mid \mu=4{,}8\big).ê
Vou calcular P(4{,}85\le\bar{X}\le5{,}15\mid\mu=4{,}8) via padronização com o mesmo erro padrão.

Passo 5

Cálculo numérico da potência.
Usando o mesmo erro padrão 0{,}09487, padronizo os limites agora com \mu=4{,}8:
z_{1}=\frac{4{,}85-4{,}8}{0{,}09487}=\frac{0{,}05}{0{,}09487}\approx 0{,}527,
z_{2}=\frac{5{,}15-4{,}8}{0{,}09487}=\frac{0{,}35}{0{,}09487}\approx 3{,}689.
Então
P\big(4{,}85\le\bar{X}\le5{,}15\mid\mu=4{,}8\big)=\Phi(3{,}689)-\Phi(0{,}527).
Pela tabela da normal padrão: \Phi(0{,}527)\approx 0{,}7009 e \Phi(3{,}689)\approx 0{,}99989 (praticamente 1). Assim
P(\text{aceitar}\mid\mu=4{,}8)\approx 0{,}99989-0{,}7009=0{,}2990.
Logo a potência é
\text{potência}=1-0{,}2990=0{,}7010\approx 0{,}701.ê
Interpretação curta: com média verdadeira 4{,}8 há cerca de 70{,}1\% de chance de detectar (rejeitar H_{0}) com essa amostra e essa região de aceitação.

Passo 6

Resumo final e incentivo rápido:
  • O nível de significância do teste com a região de aceitação fornecida é relativamente alto (cerca de 11{,}4\%), ou seja, o teste é um pouco permissivo quanto a rejeitar sob H_{0}.
  • A potência para detectar \mu=4{,}8 é cerca de 70{,}1\%, o que é razoável, mas podia melhorar com amostra maior ou com região de aceitação mais estreita (o que, porém, alteraria \alpha).

Resposta

a) \alpha \approx 0{,}114
b) potência \approx 0{,}701

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