Um fabricante está interessado na voltagem de saída de uma fonte de energia utilizada em um computador. Assume-se que a voltagem de saída seja normalmente distribuída com desvio-padrão de 0,3 volt e o fabricante deseja testar
volts contra
volts usando
unidades.
a) A região de aceitação é
. Encontre o valor de
.
b) Encontre a potência do teste para detectar uma média verda- deira de voltagem de saída de 4,8 volts.
a) A região de aceitação é
b) Encontre a potência do teste para detectar uma média verda- deira de voltagem de saída de 4,8 volts.
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei todos os dados do enunciado):
- Hipóteses:
- Desvio-padrão conhecido:
volt. - Tamanho da amostra:
. - Região de aceitação dada:
.
As perguntas:
a) Calcular o nível de significância(probabilidade de rejeitar quando ).
b) Calcular a potência do teste quando a verdadeira média évolts (ou seja, probabilidade de rejeitar quando ).
Passo 2
Distribuição da média amostral e a transformação para
(fórmula e significado das variáveis).
Como a voltagem é assumida normal e é conhecido, a média amostral satisfaz
Como a voltagem é assumida normal e
Aqui:
-
é a média das unidades; -
é a média verdadeira da população (sob vale ); -
é o desvio-padrão da população ( ); -
é o erro padrão da média (quantifica a variabilidade de ).
Para padronizar usamos a variável normal padrão
que tem distribuição
. Vou usar isso para calcular probabilidades.
Passo 3
Cálculo de
(probabilidade de rejeitar
quando
).
A região de aceitação é , então sob
(com
) temos:
A região de aceitação é
Calculo do erro padrão:
Avalio numericamente:
Padronizo os limites (para
):
Como a distribuição é simétrica,
onde
é a função distribuição padrão. Pela tabela da normal padrão
. Logo
portanto
Passo 4
Definição e estratégia para a potência quando
.
A potência é menos a probabilidade de aceitar
quando a verdadeira média é
:
A potência é
Vou calcular
via padronização com o mesmo erro padrão.
Passo 5
Cálculo numérico da potência.
Usando o mesmo erro padrão , padronizo os limites agora com
:
Usando o mesmo erro padrão
Então
Pela tabela da normal padrão:
e
(praticamente 1). Assim
Logo a potência é
Interpretação curta: com média verdadeira
há cerca de
de chance de detectar (rejeitar
) com essa amostra e essa região de aceitação.
Passo 6
Resumo final e incentivo rápido:
- O nível de significância do teste com a região de aceitação fornecida é relativamente alto (cerca de
), ou seja, o teste é um pouco permissivo quanto a rejeitar sob . - A potência para detectar
é cerca de , o que é razoável, mas podia melhorar com amostra maior ou com região de aceitação mais estreita (o que, porém, alteraria ).
Resposta
a)
b) potência
b) potência