E17
(Desafio) Uma espira de corrente I tem forma circular com raio R. Vamos supor este círculo fica no plano x-y com centro na origem de coordenadas e a orientação de I coincide com o sentido do vetor unitário varphi do sistema de coordenadas cilíndricas. Mostre que esta espira sofre dentro de um campo magnético uniforme B o torque tau=mu times B onde mu=z I pi R^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma espira circular de corrente I e raio R, situada no plano x–y, sofre torque tau=mutimesB em um campo magnético uniforme B, onde o momento magnético é mu=Ipi R^2z. Vamos usar a definição de torque magnético e entender como o cálculo se desenrola.

Passo 2

O torque sobre um elemento de corrente I é dado por , e a força magnética sobre um elemento de fio é . Portanto

Passo 3

Para simplificar, aplicamos a identidade vetorial . Assim
atimes(btimesc)=b(acdotc)-c(acdotb)

Passo 4

Como o circuito é fechado, ointrcdot dell=0. Logo
tau=Iintegral dell,(rcdotB)

Passo 5

Agora coordenamos com r=Rrho e dell=R,dvarphi,varphi. Escrevemos B=Brhorho+Bzz (o termo Bvarphi não contribui na simetria). Então
rcdotB=R Brho, dell=R,dvarphi,varphi

Passo 6

Substituindo em tau=Iintegral dell,(rcdotB) e integrando varphi de 0 a 2pi, obtemos
tau=I R^2integral0^2piBrho,varphi,dvarphi =Ipi R^2(ztimesB)

Passo 7

Reconhecendo mu=Ipi R^2z, concluímos que o torque é tau=mutimesB.

Resposta

tau=mutimesB, onde mu=I,pi R^2,z.

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