Each of Exercises 59-62 gives a function
and a positive number
. In each exercise, show that there exists a
such that for all
,
and a positive number
. In each exercise, show that there exists a
such that for all
,
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite em duas variáveis, que
isto é, dado
, encontrar
tal que sempre que
valha
Passo 2
Calcule
. Substituindo
e
em
vem
Passo 3
Começamos estimando a diferença:
Como
para todo
, segue
Passo 4
Agora usamos a desigualdade triangular e uma estimativa com a norma euclidiana:
Logo, se
, então
Para garantir que isso fique abaixo de
, basta exigir
Passo 5
Basta, então, escolher
Com essa escolha temos sempre
, como desejado.
Resposta
Podemos tomar
.