Each of Exercises 59-62 gives a function
f(x, y)
and a positive number
\epsilon
. In each exercise, show that there exists a
\delta>0
such that for all
(x, y)
,
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \Rightarrow|f(x, y)-f(0,0)|<\epsilon
f(x, y)=(x+y) /\left(x^{2}+1\right), \quad \boldsymbol{\epsilon}=0.01

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite em duas variáveis, que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x+y}{x^2+1}=0
isto é, dado \epsilon=0.01, encontrar \delta>0 tal que sempre que \sqrt{x^2+y^2}<\delta valha
\biggl|\frac{x+y}{x^2+1}-0\biggr|<0.01.

Passo 2

Calcule f(0,0). Substituindo x=0 e y=0 em
f(x,y)=\frac{x+y}{x^2+1}
vem
f(0,0)=\frac{0+0}{0^2+1}=0.

Passo 3

Começamos estimando a diferença:
\biggl|\frac{x+y}{x^2+1}-0\biggr| =\frac{|x+y|}{x^2+1}.
Como x^2+1\ge1 para todo x, segue
\frac{|x+y|}{x^2+1}\le|x+y|.

Passo 4

Agora usamos a desigualdade triangular e uma estimativa com a norma euclidiana:
|x+y|\le|x|+|y|\le\sqrt{2}\,\sqrt{x^2+y^2}.
Logo, se \sqrt{x^2+y^2}<\delta, então
\biggl|\frac{x+y}{x^2+1}-0\biggr|\le\sqrt{2}\,\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{2}\,\delta.
Para garantir que isso fique abaixo de 0.01, basta exigir
\sqrt{2}\,\delta<0.01 \quad\Longrightarrow\quad \delta<\frac{0.01}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Basta, então, escolher
\delta=\frac{0.01}{\sqrt{2}}.
Com essa escolha temos sempre \sqrt{x^2+y^2}<\delta\implies|f(x,y)-f(0,0)|<0.01, como desejado.

Resposta

Podemos tomar \displaystyle \delta=\frac{0.01}{\sqrt{2}}.

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