Each of Exercises 59-62 gives a function
f(x, y)
and a positive number
\epsilon
. In each exercise, show that there exists a
\delta>0
such that for all
(x, y)
,
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \Rightarrow|f(x, y)-f(0,0)|<\epsilon
f(x, y)=x^{2}+y^{2}, \quad \epsilon=0.01

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, segundo a definição de limite em \mathbb{R}^2, que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^2+y^2\bigr)=0
para \epsilon=0,01. Isto significa achar \delta>0 tal que
\sqrt{x^2+y^2}<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(x,y)-f(0,0)|<0,01.

Passo 2

Calculemos a diferença em módulo:
|f(x,y)-f(0,0)| = \bigl|x^2+y^2 - 0\bigr| = x^2+y^2.

Passo 3

Note que
\sqrt{x^2+y^2}<\delta \quad\Longrightarrow\quad x^2+y^2 = \bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)^2 < \delta^2.
Para garantir x^2+y^2<0,01, basta escolher \delta tal que \delta^2=0,01.

Passo 4

Como \epsilon=0,01, temos
\delta = \sqrt{\epsilon} = \sqrt{0,01} = 0,1.
Logo, se \sqrt{x^2+y^2}<0,1 então
|f(x,y)-f(0,0)| = x^2+y^2 < (0,1)^2 = 0,01 = \epsilon.

Resposta

Podemos escolher \delta = 0,1.

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