1. A EDO de Euler-Cauchy de ordem 2, que tem a forma geral
x^{2} \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+p x \cdot \frac{d y}{d x}+q y=0, \quad \text { para } \quad x>0
onde p e q são constantes. Mostre que:
(a) y(x)=x^{r} é solução da EDO de Euler-Cauchy e que as soluções satisfazem r(r-1)+p r+q=0 \operatorname{com} r_{1,2}=\frac{-p+1 \pm \sqrt{(p-1)^{2}-4 q}}{2} ;
(b) Mostre que se r_{1}, r_{2} \in \mathbb{R} com r_{1} \neq r_{2} a solução geral da EDO é y(x)=C_{1} x^{r_{1}}+C_{2} x^{r_{2}}, para x>0.
(c) Mostre que se r_{1}, r_{2} \in \mathbb{R} com r_{1}=r_{2} a solução geral da EDO é y(x)=x^{r_{1}}\left(C_{1}+C_{2} \ln x\right), para x>0.
(d) Mostre que se r_{1}, r_{2} \in \mathbb{C} com r_{1}=\alpha+\beta i e r_{2}=\alpha-\beta i a solução geral da EDO é y(x)=x^{\alpha}\left[C_{1} \cos (\beta \ln x)+C_{2} \sin (\beta \ln x)\right], \quad para \quad x>0.

Passo 1

O enunciado trata da EDO de Euler–Cauchy de segunda ordem
x^{2}y'' + p\,x\,y' + q\,y = 0,\quad x>0,
onde p e q são constantes. Vamos (a) testar a solução y=x^{r} e obter a equação característica para r, depois (b) ver o caso de raízes reais distintas, (c) repetidas e (d) complexas conjugadas.

Passo 2

Assumimos y(x)=x^{r}. Então
y' = r\,x^{r-1},\qquad y'' = r(r-1)\,x^{r-2}.
Substituindo na EDO:
x^{2}\bigl[r(r-1)x^{r-2}\bigr] + p\,x\bigl[r\,x^{r-1}\bigr] + q\,x^{r} = 0.
Fatorando x^{r} (que não é zero para x>0) obtemos a equação característica
r(r-1) + p\,r + q = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^{2} - r + p\,r + q = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} + (p-1)r + q = 0
pela fórmula de Bhaskara temos
r_{1,2} = \frac{-(p-1)\pm\sqrt{(p-1)^{2}-4\,q}}{2} = \frac{-p+1\pm\sqrt{(p-1)^{2}-4q}}{2}.
Isso completa (a).

Passo 4

Se r_{1}\neq r_{2} são reais distintos, as duas soluções independentes são x^{r_{1}} e x^{r_{2}}. Pela teoria de EDOs lineares, a solução geral é
y(x) = C_{1}\,x^{r_{1}} + C_{2}\,x^{r_{2}},
para constantes arbitrárias C_{1},C_{2}. Isso resolve (b).

Passo 5

Se a equação característica tem raiz dupla r_{1}=r_{2}=r, um dos métodos (redução de ordem) mostra que a segunda solução independente é x^{r}\ln x. Logo a solução geral é
y(x) = x^{r}\bigl(C_{1} + C_{2}\ln x\bigr),
o que responde (c).

Passo 6

Se as raízes forem complexas conjugadas
r_{1} = \alpha + i\beta,\quad r_{2} = \alpha - i\beta,
então a solução geral complexa é y = C_{1}x^{\alpha+i\beta} + C_{2}x^{\alpha-i\beta}. Usando Euler x^{i\beta}=e^{i\beta\ln x} e tomando combinação linear real, obtemos
y(x) = x^{\alpha}\bigl[A\cos(\beta\ln x) + B\sin(\beta\ln x)\bigr],
com constantes reais A,B. Isso resolve (d).

Resposta

(a) Teste y=x^{r} leva à equação característica
r(r-1)+pr+q=0,
com
r_{1,2}=\frac{-p+1\pm\sqrt{(p-1)^{2}-4q}}{2}.
(b) Se r_{1}\neq r_{2} reais,
y(x)=C_{1}x^{r_{1}}+C_{2}x^{r_{2}}.
(c) Se raiz dupla r,
y(x)=x^{r}\bigl(C_{1}+C_{2}\ln x\bigr).
(d) Se r_{1,2}=\alpha\pm i\beta,
y(x)=x^{\alpha}\bigl[C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\bigr].

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