- A EDO de Euler-Cauchy de ordem 2, que tem a forma geral
onde
e
são constantes. Mostre que:
(a)
é solução da EDO de Euler-Cauchy e que as soluções satisfazem
(b) Mostre que se
com
a solução geral da EDO é
, para
.
(c) Mostre que se
com
a solução geral da EDO é
, para
.
(d) Mostre que se
com
e
a solução geral da EDO é
para
.
(a)
(b) Mostre que se
(c) Mostre que se
(d) Mostre que se
Passo 1
O enunciado trata da EDO de Euler–Cauchy de segunda ordem
onde
e
são constantes. Vamos (a) testar a solução
e obter a equação característica para
, depois (b) ver o caso de raízes reais distintas, (c) repetidas e (d) complexas conjugadas.
Passo 2
Assumimos
. Então
Substituindo na EDO:
Fatorando
(que não é zero para
) obtemos a equação característica
Passo 3
Resolvendo
pela fórmula de Bhaskara temos
Isso completa (a).
Passo 4
Se
são reais distintos, as duas soluções independentes são
e
. Pela teoria de EDOs lineares, a solução geral é
para constantes arbitrárias
. Isso resolve (b).
Passo 5
Se a equação característica tem raiz dupla
, um dos métodos (redução de ordem) mostra que a segunda solução independente é
. Logo a solução geral é
o que responde (c).
Passo 6
Se as raízes forem complexas conjugadas
então a solução geral complexa é
. Usando Euler
e tomando combinação linear real, obtemos
com constantes reais
. Isso resolve (d).
Resposta
(a) Teste
leva à equação característica
com
(b) Se
reais,
(c) Se raiz dupla
,
(d) Se
,