Utilize o método de variação dos parâmetros, resolva as EDOs:
y^{\prime \prime}-x y^{\prime}=3 x^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y'' - x\,y' = 3x^3
que é uma equação linear de segunda ordem sem termo em y. Para resolver, fazemos a substituição
z = y',
reduzindo a ordem, e aplicamos o método de variação de constantes (variação de parâmetros) na equação de primeira ordem resultante.

Passo 2

Com z=y' obtemos
z' - x\,z = 3x^3.
Essa é uma EDO linear de primeira ordem em z. Primeiro achamos a solução homogênea:
z_h' - x\,z_h=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{z_h'}{z_h}=x \quad\Longrightarrow\quad \ln z_h=\frac{x^2}{2}+C \quad\Longrightarrow\quad z_h=C_1 e^{x^2/2}.

Passo 3

Para obter uma solução particular, escrevemos
z = u(x)\,e^{x^2/2}
com u variável. Então
z' = u'\,e^{x^2/2} + u\,x\,e^{x^2/2},
e substituindo em z' - xz=3x^3 vem
u'\,e^{x^2/2} + u\,x\,e^{x^2/2} - x\,u\,e^{x^2/2} =3x^3 \quad\Longrightarrow\quad u'\,e^{x^2/2}=3x^3
u' = 3x^3\,e^{-x^2/2} \quad\Longrightarrow\quad u = \int 3x^3\,e^{-x^2/2}\,dx.
Fazendo a substituição v=-\tfrac{x^2}{2} (ou por partes), encontra-se
\int 3x^3\,e^{-x^2/2}\,dx = -(3x^2+6)e^{-x^2/2} + C.
Escolhendo a constante de modo canônico, podemos tomar
u=-(3x^2+6)e^{-x^2/2},
logo
z=y' = u\,e^{x^2/2} = -(3x^2+6) + C_1 e^{x^2/2}.

Passo 4

Integramos agora
y' = -(3x^2+6) + C_1 e^{x^2/2}
para obter y:
y = \int (-(3x^2+6))\,dx + C_1\int e^{x^2/2}\,dx + C_2 = -x^3 - 6x + C_1\int e^{x^2/2}\,dx + C_2.

Resposta

y(x) = -\,x^3 \;-\;6\,x \;+\;C_{1}\,\int_{0}^{x}e^{t^2/2}\,dt \;+\;C_{2}.

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