Uma EDO linear de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes polinomiais que tem um ponto singular em x=0 é da forma
x\left(A_{0}+A_{1} x+A_{2} x^{2}+\cdots\right) y^{\prime \prime}+\left(B_{0}+B_{1} x+B_{2} x^{2}+\cdots\right) y^{\prime}+\left(C_{0}+C_{1} x+C_{2} x^{2}+\cdots\right) y=0 .
Mostre que, considerando séries de potências centradas em x=0 nos casos em que o método de Frobenius se aplica (quando x=0 é um ponto singular regular), obtemos a equação indicial
A_{2} r^{2}+\left(B_{2}-A_{2}\right) r+C_{1}=0 se A_{0}=A_{1}=B_{0}=B_{1}=C_{0}=0 e A_{2} \neq 0

Passo 1

O enunciado nos apresenta a EDO de segunda ordem com ponto singular em x=0, escrita como
x\bigl(A_{0}+A_{1}x+A_{2}x^{2}+\cdots\bigr)y''+\bigl(B_{0}+B_{1}x+B_{2}x^{2}+\cdots\bigr)y'+\bigl(C_{0}+C_{1}x+C_{2}x^{2}+\cdots\bigr)y=0,
e pede a equação indicial via o método de Frobenius quando x=0 é singular regular. Vamos supor
A_{0}=A_{1}=B_{0}=B_{1}=C_{0}=0,\quad A_{2}\neq0
e usar a expansão em série de potências

Passo 2

Assumimos a solução de Frobenius
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n+r},\quad a_{0}\neq0.
Dessa forma,
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(n+r)\,x^{n+r-1},\quad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(n+r)(n+r-1)\,x^{n+r-2}.

Passo 3

Como A_{0}=A_{1}=0, temos
x\bigl(A_{2}x^{2}+A_{3}x^{3}+\cdots\bigr)y'' = A_{2}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(n+r)(n+r-1)\,x^{n+r+1}+\cdots.
De modo análogo,
\bigl(B_{2}x^{2}+\cdots\bigr)y' = B_{2}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(n+r)\,x^{n+r+1}+\cdots,
\bigl(C_{1}x+C_{2}x^{2}+\cdots\bigr)y = C_{1}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n+r+1}+\cdots.

Passo 4

Somando x(A)y''+B\,y'+C\,y=0, todos os três somandos têm potência mínima x^{r+1}. O coeficiente de x^{r+1} obtém-se em n=0:
a_{0}\Bigl[A_{2}\,r(r-1)+B_{2}\,r+C_{1}\Bigr]\,x^{r+1}=0.

Passo 5

Como a_{0}\neq0, o colchete deve anular-se, levando à equação indicial
A_{2}\,r(r-1)+B_{2}\,r+C_{1}=0,
que se reescreve como
A_{2}\,r^{2}+(B_{2}-A_{2})\,r+C_{1}=0.

Resposta

A_{2}\,r^{2}+(B_{2}-A_{2})\,r+C_{1}=0.

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