Uma EDO linear de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes polinomiais que tem um ponto singular em x=0 é da forma
x\left(A_{0}+A_{1} x+A_{2} x^{2}+\cdots\right) y^{\prime \prime}+\left(B_{0}+B_{1} x+B_{2} x^{2}+\cdots\right) y^{\prime}+\left(C_{0}+C_{1} x+C_{2} x^{2}+\cdots\right) y=0 .
Mostre que, considerando séries de potências centradas em x=0 nos casos em que o método de Frobenius se aplica (quando x=0 é um ponto singular regular), obtemos a equação indicial
A_{3} r^{2}+\left(B_{3}-A_{3}\right) r+C_{2}=0 se A_{0}=A_{1}=A_{2}=B_{0}=B_{1}=B_{2}=C_{0}=C_{1}=0 e A_{3} \neq 0

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em torno de x=0, que se escreve
x\bigl(A_{0}+A_{1}x+A_{2}x^{2}+\cdots\bigr)y''+\bigl(B_{0}+B_{1}x+B_{2}x^{2}+\cdots\bigr)y'+\bigl(C_{0}+C_{1}x+C_{2}x^{2}+\cdots\bigr)y=0.
Pede-se, usando o método de Frobenius (série de potências de ordem fracionária), obter a equação indicial quando
A_{0}=A_{1}=A_{2}=B_{0}=B_{1}=B_{2}=C_{0}=C_{1}=0,\quad A_{3}\neq0.
O que vamos precisar: escrever y, y' e y'' em séries de Frobenius e identificar o coeficiente do menor expoente de x.

Passo 2

Adotamos a ansatz de Frobenius
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n+r},
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y'=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(n+r)\,x^{n+r-1}, \quad y''=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(n+r)(n+r-1)\,x^{n+r-2}.

Passo 3

Como A_{0}=A_{1}=A_{2}=0, o primeiro termo não nulo em x(A_{0}+A_{1}x+\cdots) é
x\cdot A_{3}x^{3}=A_{3}x^{4}.
De modo análogo, em B_{0}+B_{1}x+B_{2}x^{2}+\cdots o primeiro termo não nulo é B_{3}x^{3} e em C_{0}+C_{1}x+C_{2}x^{2}+\cdots é C_{2}x^{2}.

Passo 4

Substituindo essas primeiras contribuições e as séries de y, y', y'', cada termo relevante gera potências de x iguais a
A_{3}x^{4}\cdot x^{r-2}=A_{3}a_{0}r(r-1)\,x^{r+2},\quad B_{3}x^{3}\cdot x^{r-1}=B_{3}a_{0}r\,x^{r+2},\quad C_{2}x^{2}\cdot x^{r}=C_{2}a_{0}\,x^{r+2}.
O menor expoente comum é x^{r+2}. Para que a soma seja zero, o coeficiente de x^{r+2} deve anular-se:

Passo 5

Coeficiente de x^{r+2}:
A_{3}a_{0}\,r(r-1)+B_{3}a_{0}\,r+C_{2}a_{0}=0.
Como a_{0}\neq0, segue
A_{3}r(r-1)+B_{3}r+C_{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A_{3}r^{2}+(B_{3}-A_{3})r+C_{2}=0.

Resposta

A equação indicial é
A_{3}r^{2}+(B_{3}-A_{3})r+C_{2}=0.

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