Uma EDO linear de
ordem com coeficientes polinomiais que tem um ponto singular em
é da forma
Mostre que, considerando séries de potências centradas em
nos casos em que o método de Frobenius se aplica (quando
é um ponto singular regular), obtemos a equação indicial
se
e
Passo 1
O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em torno de
, que se escreve
Pede-se, usando o método de Frobenius (série de potências de ordem fracionária), obter a equação indicial quando
O que vamos precisar: escrever
,
e
em séries de Frobenius e identificar o coeficiente do menor expoente de
.
Passo 2
Adotamos a ansatz de Frobenius
logo
Passo 3
Como
, o primeiro termo não nulo em
é
De modo análogo, em
o primeiro termo não nulo é
e em
é
.
Passo 4
Substituindo essas primeiras contribuições e as séries de
,
,
, cada termo relevante gera potências de
iguais a
O menor expoente comum é
. Para que a soma seja zero, o coeficiente de
deve anular-se:
Passo 5
Coeficiente de
:
Como
, segue
Resposta
A equação indicial é