EDOS de Euler-Cauchy
x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+6 y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler-Cauchy
x^{2}y''+5x y'+6y = x^{2}.
Esse tipo de EDO tem coeficientes proporcionais a potências de x, então primeiro resolvemos a homogênea usando a troca y=x^{m} para obter a equação característica. Depois, encontramos uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a homogênea
x^{2}y''+5x y'+6y=0
assumimos y_{h}=x^{m}. Então
y_{h}'=m x^{m-1},\quad y_{h}''=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo,
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr]+5x\bigl[m x^{m-1}\bigr]+6x^{m}=0 \;\Longrightarrow\; m(m-1)+5m+6=0 \;\Longrightarrow\; m^{2}+4m+6=0.
As raízes são
m=\frac{-4\pm\sqrt{16-24}}{2}=-2\pm i\sqrt{2}.
Logo, em forma real
y_{h}(x) =x^{-2}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\sqrt{2}\,\ln x\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\sqrt{2}\,\ln x\bigr)\Bigr).

Passo 3

Para achar uma solução particular y_{p} do lado direito x^{2}, testamos
y_{p}=A x^{2} \;\Longrightarrow\; y_{p}'=2A x,\; y_{p}''=2A.
Substituindo na EDO original,
x^{2}(2A)+5x(2A x)+6(Ax^{2}) =2A x^{2}+10A x^{2}+6A x^{2}=18A x^{2}
deve igualar x^{2}. Logo
18A x^{2}=x^{2} \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{1}{18}.
Portanto
y_{p}(x)=\frac{1}{18}x^{2}.

Passo 4

A solução geral é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) =x^{-2}\Bigl(C_{1}\cos(\sqrt{2}\ln x)+C_{2}\sin(\sqrt{2}\ln x)\Bigr) +\frac{1}{18}x^{2}.

Resposta

y(x) =x^{-2}\Bigl(C_{1}\cos(\sqrt{2}\ln x)+C_{2}\sin(\sqrt{2}\ln x)\Bigr) +\frac{1}{18}x^{2}.

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