EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=e^{2 x}+\sin (x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' - 6y' + 9y = e^{2x} + \sin(x).
Isso é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver vamos usar o princípio de superposição:
  1. encontrar a solução homogênea y_h da equação
y'' - 6y' + 9y = 0,
  1. achar uma solução particular y_{p1} para o termo e^{2x} e outra y_{p2} para o termo \sin(x).
    A solução geral será
y = y_h + y_{p1} + y_{p2}.

Passo 2

Resolvendo a homogênea \;y'' - 6y' + 9y = 0; temos a equação característica
r^2 - 6r + 9 = 0.
O discriminante é \Delta = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot9 = 0, logo a raiz é dupla r=3. Assim
y_h = C_1 e^{3x} + C_2 x e^{3x}.

Passo 3

Para a parte e^{2x}, tentamos
y_{p1} = A e^{2x}.
Então
y'_{p1} = 2A e^{2x}, \quad y''_{p1} = 4A e^{2x}.
Substituindo em y'' - 6y' + 9y:
4A e^{2x} - 6(2A e^{2x}) + 9(A e^{2x}) = A(4 - 12 + 9)e^{2x} = A e^{2x}.
Para igualar a e^{2x} basta A=1. Logo
y_{p1} = e^{2x}.

Passo 4

Para a parte \sin(x), tentamos
y_{p2} = A\cos(x) + B\sin(x).
Então
y'_{p2} = -A\sin(x) + B\cos(x), \quad y''_{p2} = -A\cos(x) - B\sin(x).
Substituindo em y'' - 6y' + 9y:
(-A\cos x - B\sin x) -6(-A\sin x + B\cos x) +9(A\cos x + B\sin x)
= (8A - 6B)\cos x + (6A + 8B)\sin x.
Queremos isso igual a \sin(x), ou seja
8A - 6B = 0, \quad 6A + 8B = 1.
Da primeira vem A = \tfrac{6}{8}B = \tfrac{3}{4}B. Substituindo na segunda:
6\cdot\tfrac{3}{4}B + 8B = 1 \;\Longrightarrow\; \tfrac{9}{2}B + 8B = 1 \;\Longrightarrow\; \tfrac{25}{2}B = 1 \;\Longrightarrow\; B = \tfrac{2}{25},
então
A = \tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{2}{25} = \tfrac{3}{50}.
Logo
y_{p2} = \tfrac{3}{50}\cos(x) + \tfrac{2}{25}\sin(x).

Passo 5

Pelo princípio de superposição, a solução geral da equação original é
y = y_h + y_{p1} + y_{p2} = C_1 e^{3x} + C_2 x e^{3x} + e^{2x} + \tfrac{3}{50}\cos(x) + \tfrac{2}{25}\sin(x).

Resposta

\boxed{y = C_1 e^{3x} + C_2 x e^{3x} + e^{2x} + \tfrac{3}{50}\cos(x) + \tfrac{2}{25}\sin(x).}

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