EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=x^{2} \cos (x)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 2y = x^2 \cos(x).
O conteúdo aqui é “EDO lineares de segunda ordem com coeficientes constantes” e vamos aplicar o método de “solução complementar + solução particular” usando coeficientes não determinados, pois o termo não homogêneo é um polinômio em x multiplicado por \cos(x).

Passo 2

Para obter a solução complementar y_c, resolvemos a equação característica associada à parte homogênea
r^2 + r - 2 = 0.
As raízes são
r = 1,\quad r = -2,
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y_c = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é x^2\cos(x) e os complexos \pm i não são raízes da equação característica, usamos o ansatz
y_p(x) = U(x)\cos(x) + V(x)\sin(x),
onde U e V são polinômios de grau 2:
U(x) = a x^2 + b x + c,\quad V(x) = d x^2 + e x + f.

Passo 4

Calculamos as derivadas e substituímos em y''+y'-2y, agrupamos os coeficientes de \cos(x) e \sin(x) e igualamos respectivamente a x^2 e a 0. Isso gera o sistema linear para a,b,c,d,e,f:
\begin{cases} d-3a = 1,\\\\ 2a+4d+e-3b = 0,\\\\ 2a+b+2e+f-3c = 0,\\\\ -a-d = 0,\\\\ 2d-4a-b-e = 0,\\\\ 2d+e-2b-c-f = 0. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo esse sistema obtemos
a = -\tfrac14,\quad b = \tfrac12,\quad c = \tfrac58,
d = \tfrac14,\quad e = 1,\quad f = -\tfrac18.
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U(x) = -\tfrac14 x^2 + \tfrac12 x + \tfrac58,\qquad V(x) = \tfrac14 x^2 + x - \tfrac18.

Passo 6

A solução particular fica
y_p(x) = \Bigl(-\tfrac14 x^2 + \tfrac12 x + \tfrac58\Bigr)\cos(x) + \Bigl(\tfrac14 x^2 + x - \tfrac18\Bigr)\sin(x).
Portanto, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} + \Bigl(-\tfrac14 x^2 + \tfrac12 x + \tfrac58\Bigr)\cos(x) + \Bigl(\tfrac14 x^2 + x - \tfrac18\Bigr)\sin(x).

Resposta

y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} - \tfrac14 x^2\cos(x) + \tfrac12 x\cos(x) + \tfrac58\cos(x) + \tfrac14 x^2\sin(x) + x\sin(x) - \tfrac18\sin(x).

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