EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
Determine a solução geral das equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Vamos usar a forma geral da solução
onde
é a solução da homogênea e
é uma particular para o termo não-homogêneo.
Passo 2
Primeiro achamos
resolvendo
A equação característica é
Logo
Passo 3
Agora buscamos uma particular
que anule o termo
. Como
não aparece na homogênea, fazemos o chute
Então
e substituindo em
obtemos
Portanto
Passo 4
Falta anular o termo
. Para isso usamos um chute do tipo
onde
e
são polinômios. Como
e
estão na homogênea (ressonância de ordem 1) e o forçamento tem um
extra (grau 1), escolhemos
Ou seja,
Passo 5
Calculamos
e
e somamos
. Após agrupar termos em
e
, impomos que
Isso leva ao sistema de coeficientes
Resolvendo, vem
Logo
Passo 6
A solução particular completa é
Portanto a solução geral é