EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+y=e^{x}+x \sin (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = e^x + x\sin(x).
Vamos usar a forma geral da solução
y(x) = y_h(x) + y_p(x),
onde y_h é a solução da homogênea e y_p é uma particular para o termo não-homogêneo.

Passo 2

Primeiro achamos y_h resolvendo
y'' + y = 0.
A equação característica é
r^2 + 1 = 0\quad\Longrightarrow\quad r = \pm i.
Logo
y_h(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x).

Passo 3

Agora buscamos uma particular y_{p1} que anule o termo e^x. Como e^x não aparece na homogênea, fazemos o chute
y_{p1}(x) = A\,e^x.
Então
y_{p1}' = A\,e^x,\quad y_{p1}'' = A\,e^x,
e substituindo em y''+y=e^x obtemos
A\,e^x + A\,e^x = e^x \quad\Longrightarrow\quad 2A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac12.
Portanto
y_{p1}(x) = \tfrac12\,e^x.

Passo 4

Falta anular o termo x\sin(x). Para isso usamos um chute do tipo
y_{p2}(x) = P(x)\cos(x) + Q(x)\sin(x),
onde P e Q são polinômios. Como \sin x e \cos x estão na homogênea (ressonância de ordem 1) e o forçamento tem um x extra (grau 1), escolhemos
P(x) = a x^2 + b x, \quad Q(x) = c x^2 + d x.
Ou seja,
y_{p2}(x) = (a x^2 + b x)\cos(x) + (c x^2 + d x)\sin(x).

Passo 5

Calculamos y_{p2}' e y_{p2}'' e somamos y_{p2}''+y_{p2}. Após agrupar termos em \cos x e \sin x, impomos que
y_{p2}'' + y_{p2} = x\sin(x).
Isso leva ao sistema de coeficientes
\begin{cases} 4c = 0,\\\\ 2a + 2d = 0,\\\\ -4a = 1,\\\\ 2c - 2b = 0. \end{cases}
Resolvendo, vem
c = 0,\quad a = -\tfrac14,\quad b = 0,\quad d = -a = \tfrac14.
Logo
y_{p2}(x) = -\tfrac14\,x^2\cos(x) + \tfrac14\,x\sin(x).

Passo 6

A solução particular completa é
y_p(x) = y_{p1}(x) + y_{p2}(x) = \tfrac12\,e^x \;-\;\tfrac14\,x^2\cos(x) \;+\;\tfrac14\,x\sin(x).
Portanto a solução geral é
y(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) + \tfrac12\,e^x - \tfrac14\,x^2\cos(x) + \tfrac14\,x\sin(x).

Resposta

y(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) + \frac12 e^x - \frac14 x^2\cos(x) + \frac14 x\sin(x).

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