EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime \prime}-4 y+4 y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y + 4y' = 0.
O conteúdo aqui é resolver EDOs homogêneas de segunda ordem usando o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y(x)=e^{r x}. Substituindo em y'' +4y' -4y=0 (reorganizando os termos) obtemos a equação algébrica para r, chamada equação característica:
r^2 + 4r - 4 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante dessa equação:
\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32.
As raízes são
r = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}.

Passo 4

Como as duas raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}\,e^{(-2 + 2\sqrt{2})x} \;+\; C_{2}\,e^{(-2 - 2\sqrt{2})x},
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.ãáçõ

Resposta

\boxed{y(x) = C_{1}\,e^{(-2 + 2\sqrt{2})x} + C_{2}\,e^{(-2 - 2\sqrt{2})x}.}

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