EDO’s de segunda ordem:
Use a substituição v=\frac{d y}{d x}, reduzindo a equação à primeira ordem em v :
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=e^{-x}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{-x}
usando a substituição
v = \frac{dy}{dx},
de modo a reduzir o problema a uma EDO de primeira ordem em v. Vamos então primeiro encontrar v(x) e em seguida integrar para achar y(x).

Passo 2

Da definição de v segue
\frac{dv}{dx} = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{-x}.
Integrando ambos os lados em relação a x, obtemos
v(x) = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C_{1}.

Passo 3

Agora usamos
\frac{dy}{dx} = v(x) = -e^{-x} + C_{1}
e integramos de novo para encontrar y(x):
y(x) = \int \bigl(-e^{-x} + C_{1}\bigr)\,dx = \int -e^{-x}\,dx + \int C_{1}\,dx = e^{-x} + C_{1}\,x + C_{2}.

Resposta

y(x) = e^{-x} + C_{1}\,x + C_{2}.

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