Use a substituição v=\frac{d y}{d x}, logo \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{d v}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}=v \frac{d v}{d y} :
Determine a solução geral da equação diferencial:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{y}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
\frac{d^{2}y}{d x^{2}} = \frac{1}{y}
usando a substituição
v = \frac{d y}{d x}.
O conteúdo aqui é redução de ordem em EDOs pelo uso de v e, em seguida, resolução de uma equação separável.

Passo 2

Com v = \dfrac{dy}{dx} temos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dv}{dx}
e, pela regra da cadeia,
\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dx} = v\,\frac{dv}{dy}.
Logo a EDO vira
v\,\frac{dv}{dy} = \frac{1}{y}.

Passo 3

Separe variáveis em
v\,dv = \frac{1}{y}\,dy
e integre ambos os lados:
\int v\,dv = \int \frac{1}{y}\,dy \;\Longrightarrow\; \frac{v^{2}}{2} = \ln\bigl|y\bigr| + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 4

Voltando a v = \dfrac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = \pm\sqrt{2\,\ln\bigl|y\bigr| + 2C_{1}} = \pm\sqrt{2\,\ln\bigl|y\bigr| + K},
com K=2C_{1}. Agora separam-se as variáveis x e y:
dx = \pm\frac{dy}{\sqrt{2\,\ln\bigl|y\bigr| + K}}.

Passo 5

Integramos em x e y:
\int dx = x + C_{2} = \pm \int \frac{dy}{\sqrt{2\,\ln\bigl|y\bigr| + K}},
onde C_{2} é nova constante. A integral do lado direito não admite forma elementar simples, ficando a solução geral implícita.

Resposta

A solução geral está dada implicitamente por
x + C_{2} = \pm \int \frac{dy}{\sqrt{2\,\ln\bigl|y\bigr| + K}},
com K e C_{2} constantes de integração.

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