Efectua as operações e simplifica os resultados das seguintes expressões:
\left(\frac{2 x^{-1}-2^{-1} x}{x^{-1}-2^{-1}}\right)^{-2} \div\left(\frac{1}{2 x+x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\left(\frac{2 x^{-1}-2^{-1} x}{x^{-1}-2^{-1}}\right)^{-2}\;\div\;\frac{1}{2x+x^2}.
Aqui vamos usar propriedades de potências (expoentes negativos) e operações com frações (divisão e simplificação).

Passo 2

Primeiro, simplificamos o numerador e o denominador da fração interna.
O numerador é
\frac{2}{x}-\frac{x}{2}=\frac{4-x^2}{2x}.
O denominador é
\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=\frac{2-x}{2x}.
Logo, a fração interna fica
\frac{\displaystyle\frac{4-x^2}{2x}}{\displaystyle\frac{2-x}{2x}} =\frac{4-x^2}{2-x}.

Passo 3

Fatoramos 4-x^2 como diferença de quadrados:
4-x^2=(2-x)(2+x),
então
\frac{4-x^2}{2-x}=\frac{(2-x)(2+x)}{2-x}=2+x.
Assim, a expressão original vira
(x+2)^{-2}\;\div\;\frac{1}{2x+x^2}.

Passo 4

Transformamos a divisão por \tfrac{1}{2x+x^2} em multiplicação pela inversa e notamos que 2x+x^2=x(x+2):
(x+2)^{-2}\;\div\;\frac{1}{2x+x^2} =(x+2)^{-2}\;\times\;(2x+x^2) =(x+2)^{-2}\;\times\;x\,(x+2).

Passo 5

Usamos a regra de potências (x+2)^{-2}(x+2)^{1}=(x+2)^{-1} e obtemos
x\,(x+2)^{-1} =\frac{x}{x+2}.

Resposta

\frac{x}{x+2}.

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