5 O que é o efeito de bloqueamento de Coulomb? Estime a ordem de grandeza da separação dos níveis de energia de uma esfera metálica de raio a)
, c)
, d)
. Assumindo-se por simplicidade que a densidade de carga de um elétron fique distribuída de modo homogêneo sobre a superfície da esfera, determine a energia de repulsão coulombiana entre 2 elétrons se a esfera tem raio
. Obtenha valores quantitativos para os casos a) e d). O que se pode inferir?
Passo 1
O enunciado pergunta o que é o efeito de bloqueio de Coulomb e nos pede para estimar a separação de níveis de energia (ou energia de bloqueio) de uma esfera metálica de raio r devido à repulsão de um elétron adicional. Precisamos usar o conceito de energia de auto‐carga de um condutor (energia necessária para colocar um elétron extra) e aplicar a fórmula de Coulomb para uma casca esférica.
Passo 2
O efeito de bloqueio de Coulomb é o fenômeno em que o acréscimo de um único elétron a um pequeno condutor custa uma energia finita grande o suficiente para impedir a condução eletrônica, a menos que a energia térmica k_BT seja comparável ou maior. Matematicamente, a energia de bloqueio (energia de repulsão) para adicionar um elétron a uma esfera metálica isolada de raio r é dada por U=e·V, onde V é o potencial da esfera carregada com carga e.
Para uma casca esférica uniformemente carregada, o potencial na superfície é dado por
Para uma casca esférica uniformemente carregada, o potencial na superfície é dado por
e portanto a energia necessária para trazer um segundo elétron é
Passo 3
Essa expressão fornece a separação de níveis de energia devidos à repulsão coulombiana entre dois elétrons.
Agora basta estimar a ordem de grandeza de U® para os raios fornecidos. Em unidades de eV usaremos
Agora basta estimar a ordem de grandeza de U® para os raios fornecidos. Em unidades de eV usaremos
$$e2/(4\pi\varepsilon_0)\approx1{,}44\times10{-9}\ \mathrm{eV\cdot m}.
$$
Passo 4
Assim, para cada raio r,
Passo 5
Calculando para (a) r=1,\mu\mathrm m=1\times10^{-6},m:
Passo 6
Para (d) r=2,nm=2\times10^{-9},m:
Passo 7
Podemos inferir que para raios grandes (1,\mu m) U~1{,}4,meV é muito menor que a energia térmica a 300,K (k_BT~25,meV), de modo que o bloqueio de Coulomb não se observa. Já para r~2,nm, U~0{,}7,eV≫k_BT, o que permite observar o efeito de bloqueio de Coulomb mesmo à temperatura ambiente.
Resposta
Para r=1,\mu m: U≈2,3×10{-22},J≈1,4×10{-3},eV. Para r=2,nm: U≈1,2×10^{-19},J≈0,72,eV. Concluímos que só em nanopartículas (r≈2,nm) U≫k_BT e o bloqueio de Coulomb é relevante; em partículas micrométricas (r≈1,\mu m) U≪k_BT e o efeito some.