5 O que é o efeito de bloqueamento de Coulomb? Estime a ordem de grandeza da separação dos níveis de energia de uma esfera metálica de raio a) r=1 mu m, b) r=100 nm, c) r=10 nm, d) r=2 nm. Assumindo-se por simplicidade que a densidade de carga de um elétron fique distribuída de modo homogêneo sobre a superfície da esfera, determine a energia de repulsão coulombiana entre 2 elétrons se a esfera tem raio r. Obtenha valores quantitativos para os casos a) e d). O que se pode inferir?

Passo 1

O enunciado pergunta o que é o efeito de bloqueio de Coulomb e nos pede para estimar a separação de níveis de energia (ou energia de bloqueio) de uma esfera metálica de raio r devido à repulsão de um elétron adicional. Precisamos usar o conceito de energia de auto‐carga de um condutor (energia necessária para colocar um elétron extra) e aplicar a fórmula de Coulomb para uma casca esférica.

Passo 2

O efeito de bloqueio de Coulomb é o fenômeno em que o acréscimo de um único elétron a um pequeno condutor custa uma energia finita grande o suficiente para impedir a condução eletrônica, a menos que a energia térmica k_BT seja comparável ou maior. Matematicamente, a energia de bloqueio (energia de repulsão) para adicionar um elétron a uma esfera metálica isolada de raio r é dada por U=e·V, onde V é o potencial da esfera carregada com carga e.
Para uma casca esférica uniformemente carregada, o potencial na superfície é dado por
V=e4pivarepsilon0,r
e portanto a energia necessária para trazer um segundo elétron é
U(r)=e,V=e^24pivarepsilon0,r

Passo 3

Essa expressão fornece a separação de níveis de energia devidos à repulsão coulombiana entre dois elétrons.
Agora basta estimar a ordem de grandeza de U® para os raios fornecidos. Em unidades de eV usaremos
$$e2/(4\pi\varepsilon_0)\approx1{,}44\times10{-9}\ \mathrm{eV\cdot m}.
$$

Passo 4

Assim, para cada raio r,
U(r)approx1,44times10^-9r;[m] eV

Passo 5

Calculando para (a) r=1,\mu\mathrm m=1\times10^{-6},m:
U(1,mu m)approx1,44times10^-91times10^-6=1,44times10^-3 eVapprox2,3times10^-22, J

Passo 6

Para (d) r=2,nm=2\times10^{-9},m:
U(2,nm)approx1,44times10^-92times10^-9=0,72 eVapprox1,2times10^-19, J

Passo 7

Podemos inferir que para raios grandes (1,\mu m) U~1{,}4,meV é muito menor que a energia térmica a 300,K (k_BT~25,meV), de modo que o bloqueio de Coulomb não se observa. Já para r~2,nm, U~0{,}7,eV≫k_BT, o que permite observar o efeito de bloqueio de Coulomb mesmo à temperatura ambiente.

Resposta

Para r=1,\mu m: U≈2,3×10{-22},J≈1,4×10{-3},eV. Para r=2,nm: U≈1,2×10^{-19},J≈0,72,eV. Concluímos que só em nanopartículas (r≈2,nm) U≫k_BT e o bloqueio de Coulomb é relevante; em partículas micrométricas (r≈1,\mu m) U≪k_BT e o efeito some.

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