4 Consideremos um nanofio hipotético (situação 1D) com parâmetro de rede a=0.3 nm, ou seja tem um átomo a cada 0.3 nm , e que cada átomo contribui com um único elétron para a banda de condução. Se o nanofio tem dimensão L=30 nm, determine a expressão para densidade de estados bem como o nível de Fermi e a densidade de estados por unidade de comprimento ao nível de Fermi.

Passo 1

O enunciado pede a densidade de estados (DOS) num gás de elétrons livre unidimensional (1D), o nível de Fermi e a DOS por comprimento no nível de Fermi para um nanofio de parâmetro de rede a=0.3,nm, comprimento L=30,nm e um elétron por átomo na banda de condução.

Passo 2

Em 1D, a contagem de estados até o número de onda k (considerando as direções positiva e negativa e degeneração de spin 2) é
N(k)=2cdotL2pi;k=Lpi,k
Como a energia livre é E=hbar^2k^22m, temos
k(E)=raiz2mEhbar,
e a densidade de estados em energia é
g(E)=dNdE=LpidkdE =Lpi12raiz2mhbar,E^-1/2 =Lpihbarraizm2E

Passo 3

Para achar o nível de Fermi EF, imponho que o total de elétrons Ne=L/a seja
Ne=integral0^EFg(E),dE =Lpihbarraizm2integral0^EFE^-1/2,dE =Lpihbarraizm2;2raizEF =Lpihbarraiz2mEF
Igualando a L/a segue
raiz2mEF=pihbara Longrightarrow EF=pi^2hbar^22m,a^2

Passo 4

A densidade de estados por unidade de comprimento no nível de Fermi é
g(EF)L=1pihbarraizm2EF =1pihbarraizm2l(pi^2hbar^2/(2m a^2)r) =m,api^2hbar^2
Num valor aproximado em unidades de eV^-1,m^-1 resulta da ordem de 4times10^8,eV^-1m^-1.

Resposta

A densidade de estados 1D é g(E)=Lpihbarraizm2E; o nível de Fermi vale EF=pi^2hbar^22m,a^2approx4.2,eV; e a DOS por comprimento no Fermi é g(EF)/L=m,api^2hbar^2approx4times10^8,eV^-1m^-1.

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