EFEITO HALL
Edwin H. Hall mostrou que assim como partículas carregadas sofrem desvio na presença de campos magnéticos, elétrons se movendo no interior de um fio também sofrem essa deflexão.
O campo magnético aplica sobre os portadores de carga negativos uma força magnética para direita.
No equilíbrio:
v=\frac{E_{H}}{B}
Medindo a diferença de potencial entre as regiões direita e esquerda (com um multímetro):
V_{H}=E_{H} \cdot d=v B d
É possível determinar também o número de portadores de carga através da densidade de corrente, lembrando que:
v_{d}=\frac{J}{n q} \quad \text { e } \quad J=\frac{i}{A}
V_{H}=\left(\frac{J}{n q}\right) B d
V_{H}=\left(\frac{i}{n q A}\right) \boldsymbol{B d} \quad \begin{array}{|c} V_{H} \quad \text { é chamado de } \\\ \text { potencial de Van Allen. } \end{array}é
Lembrando que ( A=d . h ) onde h é a espessura da fita:
n=\frac{i B}{V_{H} q h}
portadores de carga

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações que temos: quero obter uma expressão para o número de portadores de carga n em função de grandezas medidas ( i, B, V_{H}, h, q). Informações dadas e relevantes:
  • Na presença de campo magnético há força magnética sobre portadores carregados em movimento.
  • Em equilíbrio elétrico-magnético lateral, relacionam-se v, E_{H} e B pela relação v=\dfrac{E_{H}}{B}.
  • A diferença de potencial entre as bordas direita e esquerda é V_{H}=E_{H}\,d.
  • A velocidade de arraste (drift) relaciona-se com a densidade de corrente por v_{d}=\dfrac{J}{n q} e J=\dfrac{i}{A}.
  • A área da seção transversal da fita é A=d\cdot h. Eu usei essa informação da imagem (ela mostra d como a largura e h como a espessura).
    Variáveis que usaremos (com unidades típicas):
  • i: corrente (A),
  • B: campo magnético (T),
  • V_{H}: tensão de Hall medida (V),
  • d: largura entre os pontos onde se mede V_{H} (m),
  • h: espessura da fita, então A=d\cdot h (m),
  • q: carga do portador (C), para elétrons q=-e com e\approx 1{,}602\times10^{-19}\,\text{C},
  • n: número de portadores por unidade de volume que queremos encontrar (m ^{-3}).

Passo 2

Entendendo as forças e o equilíbrio lateral (a “aula rápida” de física por trás da fórmula).
  • Um portador com carga q movendo-se com velocidade \vec{v} em um campo magnético \vec{B} sente força magnética \vec{F}_{B}=q\,\vec{v}\times\vec{B}. Aqui nos interessa apenas a magnitude lateral: |F_{B}|=|q|\,v\,B (assumindo ângulo de 90^\circ entre \vec{v} e \vec{B}).
  • À medida que cargas se acumulam nas laterais, aparece um campo elétrico lateral \vec{E}_{H} que gera força elétrica \vec{F}_{E}=q\,\vec{E}_{H}.
  • No equilíbrio (quando a acumulação pára), as forças se igualam em módulo: |q|E_{H}=|q|vB. Cancelando |q| obtemos a relação entre velocidade de arraste e campo elétrico:
v=\frac{E_{H}}{B}.
Observação prática: o sinal (direção) de E_{H} depende do sinal de q (elétrons dão sinal oposto), mas para obter a magnitude de v usamos a equação acima.

Passo 3

Relacionando a tensão de Hall V_{H} com v.
  • A tensão medida entre as bordas separadas por distância d é V_{H}=E_{H}\,d.
  • Substituindo E_{H}=vB da equação anterior:
V_{H}=v\,B\,d.
Explicação: E_{H} tem unidades \text{V/m}, multiplicando por d (m) dá volts; substituir E_{H} por vB vem diretamente da igualdade de forças.

Passo 4

Ligando a velocidade v à corrente elétrica: a relação entre J, n, q e v_{d}.
  • A definição física da densidade de corrente para portadores que se movem com velocidade média v_{d} é
J = n\,q\,v_{d}.
Aqui J tem unidades A/m ^2. Essa fórmula vem do fato que em um volume unitário há n cargas por m ^3; cada carga q que passa com velocidade v_{d} através de uma seção contribui para corrente; rigorosamente é J=nq\langle v\rangle.
  • Portanto:
v_{d}=\frac{J}{n q}.
  • A corrente total que medimos é i e a densidade de corrente é J=\dfrac{i}{A}, onde A é a área da seção (aqui A=d\cdot h, informação retirada da imagem).

Passo 5

Identificando que o v da equação de Hall é a velocidade de arraste v_{d} e substituindo.
  • No regime estacionário, a velocidade v usada na força magnética é a mesma velocidade média de arraste v_{d}. Então substituímos v por \dfrac{J}{n q} na expressão para V_{H}:
V_{H}=\left(\frac{J}{n q}\right)B d.
Explicação: trocamos v por v_{d} porque a corrente é transportada por essas cargas que sofrem a deflexão.

Passo 6

Substituindo J=\dfrac{i}{A} e A=d\cdot h.
  • Colocando J=\dfrac{i}{A} em V_{H}:
V_{H}=\left(\frac{i}{n q A}\right)B d.
  • Usando a área mostrada na imagem A=d\cdot h (peguei essa informação da imagem que acompanha o enunciado):
V_{H}=\left(\frac{i}{n q (d h)}\right)B d.

Passo 7

Simplificando a expressão (cancelando d).
  • Na expressão anterior o fator d aparece no denominador e no numerador; cancelamos:
V_{H}=\frac{i\,B}{n\,q\,h}.
Isso já é uma forma bem prática: note que a largura d desaparece — a tensão de Hall medida depende da espessura h (distância pela qual a corrente “passa” verticalmente), não da largura d, porque d aparece tanto na área quanto na separação de pontos de medida.

Passo 8

Isolando n (a quantidade pedida) e checando unidades.
  • Rearranjando para obter n:
n=\frac{i\,B}{V_{H}\,q\,h}.
  • Checagem de unidade rápida: \dfrac{\text{A}\cdot\text{T}}{\text{V}\cdot\text{C}\cdot\text{m}} = \dfrac{\text{C/s}\cdot\text{N/(A·m)}}{\text{J/C}\cdot\text{C}\cdot\text{m}} (essa verificação é longa mas resulta em m ^{-3}), ou mais diretamente usar valores SI típicos e confirmar que n sai em m ^{-3}.
  • Exemplo numérico para fixar: suponha i=2{,}0\\ \text{A}, B=0{,}5\\ \text{T}, V_{H}=1{,}0\times10^{-6}\\ \text{V}, h=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}, q=e=1{,}602\times10^{-19}\\ \text{C}. Então
n=\frac{2{,}0\cdot 0{,}5}{(1{,}0\times10^{-6})\cdot(1{,}602\times10^{-19})\cdot(1{,}0\times10^{-3})} =\frac{1{,}0}{1{,}602\times10^{-28}} \approx 6{,}24\times10^{27}\\ \text{m}^{-3}.
Esse número está na ordem de grandeza típica para metais (10^{28} m^{-3}).

Passo 9

Dicas experimentais e para a prova (como aplicar rápido e sem se confundir).
  • Lembre da cadeia lógica que você deve reproduzir na prova: forças (magnética = elétrica) → v=\dfrac{E_{H}}{B} V_{H}=E_{H}d=vBd v=\dfrac{J}{nq} com J=\dfrac{i}{A} → substituir e simplificar.
  • Atenção aos sinais: para determinar se os portadores são negativos ou positivos, observe o sinal de V_{H} experimental; a fórmula para n usa o módulo de q para obter densidade numérica positiva. Em provas muitas vezes pedem apenas o valor de n, não o sinal.
  • Meça corretamente h (espessura) e use A=d\cdot h como na imagem; erros em h afetam n linearmente.

Resposta

n=\frac{i\,B}{V_{H}\,q\,h}

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