O ESPECTRÔMETRO DE MASSA
Consiste em um equipamento capaz de separar isótopos (que são eletricamente iguais) por meio da suas massas usando campos elétricos magnéticos.
A primeira parte do dispositivo consiste em um seletor de velocidades, onde sairá pela fenda uma partícula carregada com velocidade dada por:
v=\frac{E}{B_{1}}
Em seguida, a partícula entra numa região com outro campo magnético (\overrightarrow{\boldsymbol{B}}) que causa a deflexão da partícula que colide em uma placa deixando uma marca;
Lembrando que o raio de deflexão é dado por:
R=\frac{m v}{q B_{2}}
Substituindo o valor da velocidade conhecida:
R=\frac{m E}{q B_{1} B_{2}}
Sabendo que entre isótopos a carga é igual e tendo os campos elétricos e magnéticos fixos, o raio dependerá apenas da massa;
Terá maior raio aquele que tiver maior massa.

Passo 1

O enunciado dá um aparelho (espectrômetro de massa) com duas regiões principais e pede, implicitamente, para relacionar o raio de deflexão com as grandezas do problema e concluir como a massa afeta esse raio. Dados e o que nos pediram:
  • Da seleção de velocidades sai uma partícula com velocidade conhecida:
v=\frac{E}{B_{1}}
  • Na região de deflexão existe um campo magnético \overrightarrow{B} (vou chamar seu módulo de B_{2}) que faz a partícula descrever uma trajetória circular de raio R. Foi dada a relação (que usaremos/confirmaremos):
R=\frac{m v}{q B_{2}}
  • Informações adicionais do enunciado: entre isótopos a carga q é igual e os campos E, B_{1}, B_{2} são fixos. O objetivo é mostrar como R depende da massa m e concluir qual isótopo terá maior raio.

Passo 2

Entendendo a seleção de velocidades (o “seletor”): na primeira região há um campo elétrico \vec{E} e um campo magnético \vec{B}_{1} cruzados, ambos perpendiculares entre si e perpendiculares à velocidade desejada. A ideia é que apenas partículas com velocidade adequada não sejam desviadas e sigam em linha reta pela fenda. Vamos analisar as forças.
  • Força elétrica sobre a partícula: a força tem módulo F_{E}=qE e direção do campo elétrico.
  • Força magnética sobre a partícula em movimento: a força tem módulo F_{B}=q v B_{1} quando \vec{v}\perp\vec{B}_{1}.
    Para que a partícula passe sem desvio, essas forças devem se cancelar (mesma direção, sentidos opostos). Portanto:
qE = q v B_{1}.
Simplificando q (assumindo q\neq 0) obtemos a condição para a velocidade que passa pelo seletor:
v=\frac{E}{B_{1}}.
Explicando as variáveis: E é o módulo do campo elétrico no seletor (unidade V/m), B_{1} é o módulo do campo magnético lá (unidade T), v é a velocidade que atravessa sem desvio.

Passo 3

Movimento na câmara magnética (região com B_{2}): depois do seletor a partícula entra numa região onde só existe um campo magnético \vec{B}_{2} perpendicular à velocidade. A força magnética é então a centrípeta que faz a partícula mover-se em círculo.
  • Magnitude da força magnética: F_{B2}=q v B_{2}.
  • Força centrípeta necessária para movimento circular de raio R: F_{c}=\dfrac{m v^{2}}{R}, onde m é a massa da partícula.
    Igualando forças (todas perpendiculares e com as orientações corretas):
q v B_{2} = \frac{m v^{2}}{R}.
Agora explico por que usamos essa igualdade: a única força horizontal (perpendicular à velocidade) que atua é a magnética, e essa força deve prover exatamente a aceleração centrípeta a_c=v^{2}/R para manter a trajetória circular.

Passo 4

Simplificações algébricas para isolar R. Na igualdade:
q v B_{2} = \frac{m v^{2}}{R},
podemos cancelar um fator v (assumindo v\neq 0), ficando:
q B_{2} = \frac{m v}{R}.
Isolando R:
R=\frac{m v}{q B_{2}}.
Essa é exatamente a relação já apresentada no enunciado; agora substituímos nela a velocidade fornecida pelo seletor ( v=\dfrac{E}{B_{1}}). Fazendo a substituição:
R=\frac{m}{q B_{2}}\cdot\frac{E}{B_{1}}.
Rearranjando:
R=\frac{m E}{q B_{1} B_{2}}.
Vou explicar cada símbolo outra vez: R é o raio de deflexão (m), m massa da partícula (kg), E campo elétrico do seletor (V/m), q carga da partícula (C), B_{1} campo magnético do seletor (T), B_{2} campo magnético da câmara de deflexão (T).

Passo 5

Interpretação física da expressão final:
R=\frac{m E}{q B_{1} B_{2}}.
  • Se E, B_{1}, B_{2} e q são fixos (como no enunciado) então R é proporcional à massa m: R\propto m.
  • Conclusão operacional: entre dois isótopos (mesma carga q), o que tiver maior massa m terá maior raio R. Assim o detector (placa) verá marcas em posições diferentes e essas posições permitem separar isótopos por massa.

Passo 6

Como usar isso numa prova ou experimento (passo-a-passo prático que você pode escrever no caderno):
  1. Justifique o seletor de velocidades escrevendo qE=qvB_{1} e deduzindo v=E/B_{1}. Explique com uma frase por que forças se cancelam ali.
  2. Na câmara magnética escreva qvB_{2}=mv^{2}/R, interprete como força magnética = força centrípeta.
  3. Cancele v, isole R e substitua v do seletor: obtenha R=\dfrac{mE}{qB_{1}B_{2}}.
  4. Faça a conclusão: com q,E,B_{1},B_{2} fixos, maior m\Rightarrow maior R.
    Se precisar encontrar a massa a partir de uma medida de R, resolva para m:
m=\frac{q B_{1} B_{2}}{E}\;R.
Esse passo inverso é útil em problemas onde você mede a posição no detector (que dá R) e quer o valor de m.

Passo 7

Observações experimentais e dicas de prova (para ganhar pontos e não perder por esquecimento):
  • Sempre declare orientações: explique que \vec{E} e \vec{B}_{1} são perpendiculares e que a velocidade que passa é também perpendicular a \vec{B}_{1}.
  • Diga porque cancelou v (assuma v\neq 0).
  • Se aparecer um desenho, marque as forças qE e qvB_{1} no seletor e mostre que se equilibram; na câmara marque qvB_{2} apontando para o centro do círculo.
  • Atenção a sinais (direção da força magnética depende do sentido de q e das direções de \vec{v} e \vec{B}). Em muitos exercícios q>0 e as setas ficam simples; se q<0 inverte a curvatura.
  • Se te pedirem numericamente, use a fórmula direta e mantenha unidades consistentes: E em V/m, B em T, q em C, m em kg, então R em m.

Resposta

R=\frac{m E}{q B_{1} B_{2}}
Maior massa \Rightarrow maior raio de deflexão (para q,E,B_{1},B_{2} fixos).

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