Efeito de Hall. Obtenha a dependencia entre E_{x} e B supondo que se mantém j_{x} constante.

Passo 1

O enunciado pede a dependência do campo elétrico de Hall E_x em função do campo magnético B, mantendo a densidade de corrente j_x constante. O conteúdo aqui é o efeito de Hall no regime estacionário, usando o equilíbrio de forças sobre as cargas livres e a relação entre densidade de corrente e velocidade de deriva.

Passo 2

Em regime estacionário, cada carga q sofre força nula no plano transversal, ou seja,
q\,\bigl(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr)=0
e portanto
\mathbf{E}=-\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.

Passo 3

A densidade de corrente elétrica está ligada à velocidade de deriva por
\mathbf{j}=n\,q\,\mathbf{v},
onde n é a densidade de cargas livres.

Passo 4

Substituindo \mathbf{v}=\mathbf{j}/(nq) em \mathbf{E}=-\mathbf{v}\times\mathbf{B}, vem
\mathbf{E} =-\frac{1}{n\,q}\,\mathbf{j}\times\mathbf{B}.

Passo 5

Supondo \mathbf{j}=j_x\,\hat{x} e \mathbf{B}=B\,\hat{z}, o produto vetorial é
\mathbf{j}\times\mathbf{B} =j_x\,\hat{x}\times\bigl(B\,\hat{z}\bigr) =-\,j_x\,B\,\hat{y}.
Logo
\mathbf{E} =-\frac{1}{n\,q}\bigl(-j_x\,B\,\hat{y}\bigr) =\frac{j_x\,B}{n\,q}\,\hat{y}.
Se chamarmos de E_x a componente de Hall (troca-se o índice apenas por convenção de eixo), obtemos
E_x=\frac{j_x\,B}{n\,q}.

Resposta

E_x=\frac{j_x\,B}{n\,q}.

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