O tensor da condutividade de Hall tem a forma:
\sigma=\frac{\sigma_{0}}{1+\left(\omega_{c} \tau\right)^{2}}\left[\begin{array}{cc} 1 & -\omega_{c} \tau \\\ \omega_{c} \tau & 1 \end{array}\right]
Tendo em conta o que sabe sobre a expressão para \sigma_{0}, como fica o tensor no limite \tau \rightarrow \infty ? Qual o significado físico desse limite?

Passo 1

O enunciado dá o tensor de condutividade de Hall
\sigma = \frac{\sigma_{0}}{1+(\omega_{c}\tau)^{2}} \begin{pmatrix} 1 & -\omega_{c}\tau \\[6pt] \omega_{c}\tau & 1 \end{pmatrix}
e pede o limite \tau\to\infty. Sabemos da teoria de Drude que
\sigma_{0}=\frac{ne^{2}\tau}{m}.]

Passo 2

Substituindo \sigma_{0} = ne^{2}\tau/m no fator comum, obtemos
\frac{\sigma_{0}}{1+(\omega_{c}\tau)^{2}} =\frac{\frac{ne^{2}\tau}{m}}{1+(\omega_{c}\tau)^{2}}.
Para \omega_{c}\tau\gg1, o denominador aproxima-se de (\omega_{c}\tau)^{2}.

Passo 3

A condutividade longitudinal torna-se
\sigma_{xx} =\frac{\frac{ne^{2}\tau}{m}}{(\omega_{c}\tau)^{2}} =\frac{ne^{2}}{m\,\omega_{c}^{2}\tau} \;\xrightarrow{\tau\to\infty}\;0,
enquanto a condutividade de Hall é
\sigma_{xy} =-\,\frac{\frac{ne^{2}\tau}{m}}{(\omega_{c}\tau)^{2}}\, (\omega_{c}\tau) =-\,\frac{ne^{2}}{m\,\omega_{c}}.

Passo 4

Usando \omega_{c}=eB/m encontramos
\sigma_{xy} =-\,\frac{ne^{2}}{m\,(eB/m)} =-\,\frac{ne}{B}, \quad \sigma_{yx}=+\frac{ne}{B}.
Logo, no limite \tau\to\infty,
\sigma(\tau\to\infty) =\frac{ne}{B} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[6pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Físicamente \tau\to\infty corresponde ao regime sem espalhamento (colisões desprezíveis). Nesse caso não há dissipação ôhmica \sigma_{xx}=0 e o transporte é puramente transversal (corrente de Hall), caracterizando um condutor ideal sem perdas.

Resposta

No limite \tau\to\infty o tensor de condutividade fica
\sigma =\frac{ne}{B} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix},
o que significa um regime sem colisões, sem componente longitudinal de corrente e apenas corrente de Hall, i.e.\ transporte dissipationless.]

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