c) Efetuando a mudança de variável
, calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
usando a mudança de variável
. Isso envolve cálculo de integrais e uma mudança de variável, que são tópicos de cálculo integral. Para resolver, a gente vai precisar entender como fazer substituições em integrais e lembrar como calcular integrais que envolvem exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a mudança de variável proposta:
. Isso significa que queremos expressar tudo em termos de
ao invés de
.
Passo 3
Com
, podemos resolver para
:
. Agora, vamos calcular o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 4
Agora substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar o expoente:
Então, o expoente fica:
Mas na verdade, percebemos que houve um erro. Vamos reavaliar:
Na verdade:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Vamos reescrever a integral:
Sabemos que
. Aqui,
.
Passo 7
Aplicando a fórmula:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A integral
é igual a
.