integral tg t sec ^3 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de tan t cdot sec^3 t em relação a t. A matéria envolvida aqui é o Cálculo de Integrais, especificamente integração por substituição. Para resolver, vamos precisar lembrar das fórmulas das funções trigonométricas e como aplicar a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que tan t pode ser escrita como sin tcos t e sec t como 1cos t. Mas, para facilitar a integração, vamos usar uma substituição inteligente. Vamos definir uma nova variável u para simplificar a integral.

Passo 3

Escolhemos u = sec t. Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a t para substituir na integral. Sabemos que a derivada de sec t é sec t tan t, ou seja:
dudt = sec t tan t du = sec t tan t , dt

Passo 4

Observando a nossa integral original, temos:
integral tan t cdot sec^3 t , dt = integral sec^2 t cdot (tan t cdot sec t) , dt
Perceba que tan t cdot sec t , dt é exatamente du. Então, podemos reescrever a integral em termos de u:
integral sec^2 t cdot du

Passo 5

Agora, como u = sec t, então sec^2 t = u^2. Substituindo na integral, ficamos com:
integral u^2 , du
Essa é uma integral simples de uma função polinomial.

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral u^2 , du = u^33 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta para termos em t:
u^33 + C = sec^3 t3 + C

Resposta

A integral de tan t cdot sec^3 t , dt é:
sec^3 t3 + C

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