Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
em relação a
. A matéria envolvida aqui é o Cálculo de Integrais, especificamente integração por substituição. Para resolver, vamos precisar lembrar das fórmulas das funções trigonométricas e como aplicar a substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que
pode ser escrita como
e
como
. Mas, para facilitar a integração, vamos usar uma substituição inteligente. Vamos definir uma nova variável
para simplificar a integral.
Passo 3
Escolhemos
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir na integral. Sabemos que a derivada de
é
, ou seja:
Passo 4
Observando a nossa integral original, temos:
Perceba que
é exatamente
. Então, podemos reescrever a integral em termos de
:
Passo 5
Agora, como
, então
. Substituindo na integral, ficamos com:
Essa é uma integral simples de uma função polinomial.
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta para termos em
:
Resposta
A integral de
é: