Efetue:
\left(\frac{2 a b^{2}}{c^{3}}\right)^{2} \cdot\left(\frac{a^{2} c}{b}\right)^{3}=

Passo 1

O problema pede para simplificar a expressão
\left(\frac{2 a b^{2}}{c^{3}}\right)^{2}\cdot\left(\frac{a^{2} c}{b}\right)^{3}.
Informações dadas:
  • Temos duas frações entre parênteses, cada uma elevada a uma potência: a primeira ao expoente 2 e a segunda ao expoente 3.
  • As bases envolvem o número 2 e as variáveis a, b, c com expoentes já indicados: b^{2}, c^{3}, a^{2} etc.
  • A operação final é a multiplicação dos dois termos resultantes.

Passo 2

Vamos lembrar as regras de potências que vamos usar (explicando bem devagar):
  • Regra 1: \displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}. Ou seja, uma potência de um produto é o produto das potências.
  • Regra 2: \displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^{n}=\frac{x^{n}}{y^{n}}. Potência de uma fração = potência do numerador sobre potência do denominador.
  • Regra 3: \displaystyle (x^{m})^{n}=x^{m n}. Potência de potência multiplica os expoentes.
  • Regra 4: \displaystyle x^{m}x^{n}=x^{m+n}. Produto de potências de mesma base soma os expoentes.
  • Regra 5: \displaystyle \frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}. Divisão de potências de mesma base subtrai os expoentes.
Exemplos rápidos para fixar:
  • \displaystyle (ab)^{2}=a^{2}b^{2}.
  • \displaystyle (x^{2})^{3}=x^{6}.
  • \displaystyle \frac{x^{5}}{x^{2}}=x^{3}.

Passo 3

Aplicando as regras ao primeiro fator \displaystyle \left(\frac{2 a b^{2}}{c^{3}}\right)^{2}.
Pela Regra 2 e 1, elevamos cada fator ao quadrado:
\left(\frac{2 a b^{2}}{c^{3}}\right)^{2}=\frac{2^{2}\,a^{2}\,(b^{2})^{2}}{(c^{3})^{2}}.
Agora use a Regra 3 em (b^{2})^{2} e em (c^{3})^{2}:
(b^{2})^{2}=b^{4},\qquad (c^{3})^{2}=c^{6}.
Portanto
\left(\frac{2 a b^{2}}{c^{3}}\right)^{2}=\frac{2^{2}\,a^{2}\,b^{4}}{c^{6}}.
E como 2^{2}=4, fica
\left(\frac{2 a b^{2}}{c^{3}}\right)^{2}=\frac{4\,a^{2}\,b^{4}}{c^{6}}.

Passo 4

Agora o segundo fator \displaystyle \left(\frac{a^{2} c}{b}\right)^{3}.
Aplicando as mesmas regras (elevar cada fator ao cubo):
\left(\frac{a^{2} c}{b}\right)^{3}=\frac{(a^{2})^{3}\,c^{3}}{b^{3}}.
Use a Regra 3 em (a^{2})^{3}:
(a^{2})^{3}=a^{6}.
Logo
\left(\frac{a^{2} c}{b}\right)^{3}=\frac{a^{6}\,c^{3}}{b^{3}}.

Passo 5

Multiplicamos os dois resultados obtidos:
\frac{4\,a^{2}\,b^{4}}{c^{6}}\cdot\frac{a^{6}\,c^{3}}{b^{3}}.
Para multiplicar, juntamos numeradores e denominadores:
\frac{4\,a^{2}\,b^{4}\,a^{6}\,c^{3}}{c^{6}\,b^{3}}.
Agora simplificamos potências de mesma base usando Regra 4 e 5:
  • Para a: a^{2}\cdot a^{6}=a^{2+6}=a^{8}.
  • Para b: b^{4}/b^{3}=b^{4-3}=b^{1}=b.
  • Para c: c^{3}/c^{6}=c^{3-6}=c^{-3}, que corresponde a 1/c^{3} no denominador.
Aplicando isso:
\frac{4\,a^{8}\,b}{c^{3}}.

Passo 6

Interpretação final: não há expoentes negativos no resultado final — escrevemos a divisão por c^{3} no denominador. O coeficiente numérico 4 permanece.
Portanto a expressão originalmente dada simplifica-se para
\frac{4\,a^{8}\,b}{c^{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{4 a^{8} b}{c^{3}}

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