Efetue as operações indicadas abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a soma
Informações dadas que vou usar: a soma começa em
e vai até
. Não há outras pegadinhas no enunciado — a tarefa é encontrar esse somatório.
Passo 2
Um fato fundamental sobre
(a unidade imaginária) que vou usar: as potências de
são periódicas com período
. Ou seja, os valores se repetem a cada quatro expoentes. Escrevendo os primeiros termos para fixar:
e então
Isso significa que qualquer potência
depende apenas de
módulo
.
Passo 3
Observação útil sobre somas em blocos: a soma de quatro termos consecutivos de uma dessas quatro potências dá zero:
Portanto, se a soma total contiver um número inteiro de blocos de
termos, esses blocos somam zero e só restam os termos “sobrando” quando o número de termos não for múltiplo de
.
Passo 4
Conto quantos termos há no somatório. Como começo em
e vou até
, o número de termos é
. Faço a divisão por
para ver quantos blocos completos de
termos cabem:
Ou seja, há
blocos completos de
termos (cada bloco soma
) e restam
termos extras.
Passo 5
Identifico quais são os
termos que “sobram”: eles são os últimos três termos do somatório, correspondendo aos expoentes
(porque
). Uso a periodicidade (reduzir expoente módulo
):
Somando apenas esses três termos:
Como os
blocos completos somam
, a soma total é justamente
.
Passo 6
(Vou mostrar rapidamente um método alternativo — fórmula da soma geométrica — só para confirmar.) A soma de uma progressão geométrica com razão
é
Aplicando com
e
:
Como
, tem-se
. Então
Multiplicando numerador e denominador por
(conjugado simples) para simplificar:
Como
e
, segue
confirmando o resultado anterior.