Efetue as operações indicadas abaixo:
1+i+i^{2}+i^{3}+\ldots+i^{2026}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a soma
1+i+i^{2}+i^{3}+\ldots+i^{2026}.
Informações dadas que vou usar: a soma começa em i^{0}=1 e vai até i^{2026}. Não há outras pegadinhas no enunciado — a tarefa é encontrar esse somatório.

Passo 2

Um fato fundamental sobre i (a unidade imaginária) que vou usar: as potências de i são periódicas com período 4. Ou seja, os valores se repetem a cada quatro expoentes. Escrevendo os primeiros termos para fixar:
i^{0}=1,\qquad i^{1}=i,\qquad i^{2}=-1,\qquad i^{3}=-i,
e então
i^{4}=1,\quad i^{5}=i,\quad\text{etc.}
Isso significa que qualquer potência i^{k} depende apenas de k módulo 4.

Passo 3

Observação útil sobre somas em blocos: a soma de quatro termos consecutivos de uma dessas quatro potências dá zero:
i^{0}+i^{1}+i^{2}+i^{3}=1+i-1-i=0.
Portanto, se a soma total contiver um número inteiro de blocos de 4 termos, esses blocos somam zero e só restam os termos “sobrando” quando o número de termos não for múltiplo de 4.

Passo 4

Conto quantos termos há no somatório. Como começo em i^{0} e vou até i^{2026}, o número de termos é 2026-0+1=2027. Faço a divisão por 4 para ver quantos blocos completos de 4 termos cabem:
2027 = 4\cdot 506 + 3.
Ou seja, há 506 blocos completos de 4 termos (cada bloco soma 0) e restam 3 termos extras.

Passo 5

Identifico quais são os 3 termos que “sobram”: eles são os últimos três termos do somatório, correspondendo aos expoentes k=2024,2025,2026 (porque 4\cdot506=2024). Uso a periodicidade (reduzir expoente módulo 4):
2024\equiv 0\pmod{4}\Rightarrow i^{2024}=i^{0}=1,
2025\equiv 1\pmod{4}\Rightarrow i^{2025}=i^{1}=i,
2026\equiv 2\pmod{4}\Rightarrow i^{2026}=i^{2}=-1.
Somando apenas esses três termos:
i^{2024}+i^{2025}+i^{2026}=1+i+(-1)=i.
Como os 506 blocos completos somam 0, a soma total é justamente i.

Passo 6

(Vou mostrar rapidamente um método alternativo — fórmula da soma geométrica — só para confirmar.) A soma de uma progressão geométrica com razão r\neq1 é
\sum_{k=0}^{n} r^{k}=\frac{r^{n+1}-1}{r-1}.
Aplicando com r=i e n=2026:
S=\frac{i^{2027}-1}{i-1}.
Como 2027\equiv3\pmod{4}, tem-se i^{2027}=i^{3}=-i. Então
S=\frac{-i-1}{i-1}=\frac{-(1+i)}{i-1}.
Multiplicando numerador e denominador por i+1 (conjugado simples) para simplificar:
S=\frac{-(1+i)(i+1)}{(i-1)(i+1)}=\frac{-(1+i)^{2}}{i^{2}-1}.
Como (1+i)^{2}=2i e i^{2}=-1, segue
S=\frac{-2i}{-2}=i,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

i

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