Calcule as potências indicadas abaixo:
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá: calcular a potência
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O número complexo a ser elevado é
. - O expoente é
.
Passo 2
Vamos escrever
em forma polar (essa forma facilita potências). Primeiro calculamos o módulo
de
. A fórmula do módulo de um complexo
é
onde
é a parte real e
a parte imaginária. Aqui
e
. Logo
Passo 3
Agora encontramos o argumento
(o ângulo) de
. Para um complexo
com
e
(primeiro quadrante),
Aqui
. Sabendo que
, temos
Portanto
está no primeiro quadrante com módulo
e ângulo
.
Passo 4
Escrevendo
em forma trigonométrica (ou exponencial) usamos
Também podemos escrever a forma exponencial (fórmula de Euler):
Passo 5
Aplicamos a fórmula de De Moivre para potências inteiras: para
e inteiro
,
Aqui
,
e
. Primeiro calculemos
:
Passo 6
Calculamos o ângulo multiplicado:
Fazendo a divisão inteira de
por
:
. Então
Passo 7
Usamos a periodicidade exponencial/trigonométrica. Escrevendo
Como
(porque
e
é ímpar), temos
Portanto, pela forma trigonométrica,
Passo 8
Agora avaliamos
e
. No círculo unitário:
Portanto
Multiplicando por
:
Fazendo a multiplicação por escala: