Calcule as potências indicadas abaixo:
(\sqrt{3}+i)^{2026}

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá: calcular a potência \left(\sqrt{3}+i\right)^{2026}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O número complexo a ser elevado é z=\sqrt{3}+i.
  • O expoente é n=2026.

Passo 2

Vamos escrever z em forma polar (essa forma facilita potências). Primeiro calculamos o módulo r de z. A fórmula do módulo de um complexo z=x+iy é
r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
onde x é a parte real e y a parte imaginária. Aqui x=\sqrt{3} e y=1. Logo
r=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.

Passo 3

Agora encontramos o argumento \theta (o ângulo) de z. Para um complexo z=x+iy com x>0 e y>0 (primeiro quadrante),
\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right).
Aqui \dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Sabendo que \tan\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, temos
\theta=\frac{\pi}{6}.
Portanto z está no primeiro quadrante com módulo 2 e ângulo \pi/6.

Passo 4

Escrevendo z em forma trigonométrica (ou exponencial) usamos
z = r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big)=2\big(\cos\tfrac{\pi}{6}+i\sin\tfrac{\pi}{6}\big).
Também podemos escrever a forma exponencial (fórmula de Euler):
z=2e^{i\pi/6}.

Passo 5

Aplicamos a fórmula de De Moivre para potências inteiras: para z=r e^{i\theta} e inteiro n,
z^{n}=r^{n}e^{i n\theta}=r^{n}\big(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\big).
Aqui r=2, \theta=\tfrac{\pi}{6} e n=2026. Primeiro calculemos r^{n}:
r^{2026}=2^{2026}.

Passo 6

Calculamos o ângulo multiplicado:
n\theta=2026\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{2026\pi}{6}.
Fazendo a divisão inteira de 2026 por 6: 2026=6\cdot337+4. Então
\frac{2026\pi}{6}=337\pi+\frac{4\pi}{6}=337\pi+\frac{2\pi}{3}.

Passo 7

Usamos a periodicidade exponencial/trigonométrica. Escrevendo
e^{i(337\pi+\tfrac{2\pi}{3})}=e^{i337\pi}\,e^{i2\pi/3}.
Como e^{i337\pi}=(-1)^{337}=-1 (porque e^{i\pi}=-1 e 337 é ímpar), temos
e^{i n\theta}=-1\cdot e^{i2\pi/3}=-e^{i2\pi/3}.
Portanto, pela forma trigonométrica,
\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=-\big(\cos\tfrac{2\pi}{3}+i\sin\tfrac{2\pi}{3}\big).

Passo 8

Agora avaliamos \cos\tfrac{2\pi}{3} e \sin\tfrac{2\pi}{3}. No círculo unitário:
\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2},\qquad \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=-\Big(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}.
Multiplicando por r^{2026}=2^{2026}:
z^{2026}=2^{2026}\Big(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\Big).
Fazendo a multiplicação por escala:
z^{2026}=2^{2025}-i\,2^{2025}\sqrt{3}.

Resposta

2^{2025}-i\,2^{2025}\sqrt{3}

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