Efetue as operações indicadas abaixo:
(-1-i)^{2025}+(-1+i)^{2025}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a soma \;(-1-i)^{2025}+(-1+i)^{2025}.\n
Informações dadas:
  • Dois números complexos: (-1-i) e (-1+i).
  • Ambos são elevados à potência 2025.
  • É pedido o valor numérico da soma desses dois números complexos elevados a essa potência.

Passo 2

Observação útil (sem resolver ainda): os dois números são conjugados entre si, pois (-1+i) é o conjugado de (-1-i). Quando trabalhamos com potências de números complexos conjugados, é conveniente usar a forma polar/exponencial para simplificar a soma.

Passo 3

Calcular o módulo e o argumento de (-1-i).
  • Módulo:
r=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
  • Argumento: o ponto (-1,-1) está no terceiro quadrante (ou, usando arg principal, tem argumento -\tfrac{3\pi}{4}). Portanto podemos escrever
-1-i = \sqrt{2}\,e^{-i\frac{3\pi}{4}}.
O conjugado -1+i tem o mesmo módulo e argumento oposto:
-1+i = \sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}.

Passo 4

Aplicar a fórmula de De Moivre para elevar à potência 2025: se z=r e^{i\theta} então z^n=r^n e^{i n\theta}. Assim
(-1-i)^{2025}=(\sqrt{2})^{2025}e^{-i\left(2025\cdot\frac{3\pi}{4}\right)}
e
(-1+i)^{2025}=(\sqrt{2})^{2025}e^{i\left(2025\cdot\frac{3\pi}{4}\right)}.

Passo 5

Somar as duas potências e fatorar (\sqrt{2})^{2025}:
(-1-i)^{2025}+(-1+i)^{2025}=(\sqrt{2})^{2025}\Bigl(e^{-i\varphi}+e^{i\varphi}\Bigr),
onde \varphi=2025\cdot\frac{3\pi}{4}. Usando e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}=2\cos\varphi, obtemos
(-1-i)^{2025}+(-1+i)^{2025}=2(\sqrt{2})^{2025}\cos\varphi.

Passo 6

Calcular \cos\varphi com \varphi=2025\cdot\frac{3\pi}{4}.
Primeiro calcule 2025\cdot\frac{3}{4}=\frac{6075}{4}=1518+\frac{3}{4}. Portanto
\varphi=1518\pi+\frac{3\pi}{4}.
Como 1518 é inteiro par, tem-se \cos(1518\pi+\alpha)=\cos\alpha. Logo
\cos\varphi=\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Substituir \cos\varphi na expressão do Passo 5:
(-1-i)^{2025}+(-1+i)^{2025}=2(\sqrt{2})^{2025}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Simplificando os fatores:
2\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt{2},
portanto
(-1-i)^{2025}+(-1+i)^{2025}=-\sqrt{2}\,(\sqrt{2})^{2025}=-(\sqrt{2})^{2026}.

Passo 8

Converter (\sqrt{2})^{2026} em potência inteira de 2:
(\sqrt{2})^{2026}=(2^{1/2})^{2026}=2^{2026/2}=2^{1013}.
Logo o resultado final é
-2^{1013}.

Resposta

-2^{1013}

Exercícios relacionados