Efetue as seguintes operações em aritmética de ponto flutuante: considere truncamento após cada operação) com 3 dígitos de mantissa. Calcule os erros relativos e os erros absolutos de cada resposta e explique a razão de este erro ser grande. Exemplo: 4 / 5+1 / 3 valor exato =0.8+0.33333 \ldots .=1.1333333 \ldots valor aproximado =0.8+0.333=1.13 erro absoluto \mathrm{EA}=0.00333333 \ldots. erro relativo \mathrm{ER}=0.00333333 \ldots . / 1.13=0.0029490 \ldots.
b) (1 / 3-3 / 11)+3 / 20

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas:
  • Calcular a expressão \left(1/3 - 3/11\right) + 3/20 usando aritmética de ponto flutuante com truncamento após cada operação e mantissa com 3 dígitos significativos.
  • Para cada operação apresentar o valor aproximado obtido (após truncamento), o erro absoluto e o erro relativo da resposta final, e explicar por que o erro pode ser grande.
  • Regras que vou usar (tiradas do enunciado): truncamento (não arredondamento) e mantissa com 3 dígitos significativos em base decimal. Truncamento é aplicado após cada operação aritmética (incluindo representar os operandos inicialmente com 3 dígitos).

Passo 2

Explicação didática do formato de ponto flutuante que vou usar:
  • “3 dígitos de mantissa” significa que qualquer número será representado com 3 algarismos significativos. Ex.: 0{,}333333\ldots ficará 0{,}333; 0{,}15 ficará 0{,}150 (três dígitos significativos: 1, 5, 0).
  • Truncamento significa cortar os dígitos além dos 3 significativos sem arredondar. Ex.: 0{,}272727\ldots \to 0{,}272.
  • Aplicarei truncamento sempre que (a) representar um valor real inicial no formato de 3 dígitos, e (b) terminar cada operação aritmética (subtração, adição) — o resultado de cada operação é imediatamente truncado a 3 dígitos significativos antes de ser usado na operação seguinte.

Passo 3

Calcular os valores exatos (para referência):
  • \dfrac{1}{3}=0{,}333333\ldots
  • \dfrac{3}{11}=0{,}272727\ldots
  • A diferença exata
\frac{1}{3}-\frac{3}{11}=\frac{11-9}{33}=\frac{2}{33}=0{,}06060606\ldots
  • \dfrac{3}{20}=0{,}15
  • Soma exata
\frac{2}{33}+\frac{3}{20}=\frac{40+99}{660}=\frac{139}{660}=0{,}21060606\ldots
Portanto o valor exato da expressão é \dfrac{139}{660}\approx 0{,}21060606\ldots.

Passo 4

Representar os operandos na aritmética truncada com 3 dígitos significativos:
  • \dfrac{1}{3} truncado a 3 dígitos: 0{,}333.
  • \dfrac{3}{11} truncado a 3 dígitos: 0{,}272.
  • \dfrac{3}{20} com 3 dígitos: 0{,}150 (escrevo o zero final para deixar claro os 3 dígitos significativos).

Passo 5

Realizar as operações na ordem dada, truncando após cada operação:
  1. Subtração 1/3 - 3/11 no formato truncado:
0{,}333 - 0{,}272 = 0{,}061
Agora aplico truncamento a 3 dígitos significativos ao resultado. Para explicitar os 3 dígitos significativos escrevo-o como 0{,}0610 (os dígitos significativos são 6,1,0); ao omitir notação extra fica 0{,}061. Assim o resultado truncado desta operação é 0{,}061 (entendendo três dígitos significativos: 6,1,0).
  1. Agora somo com 3/20 já truncado:
0{,}061 + 0{,}150 = 0{,}211
Truncamento a 3 dígitos significativos no resultado final dá 0{,}211. (Aqui o somatório já tem 3 dígitos significativos e não há dígitos extras a cortar.)
Portanto o valor aproximado final obtido na aritmética de ponto flutuante com truncamento é 0{,}211.

Passo 6

Calcular os erros (usar a convenção do exemplo: erro absoluto \mathrm{EA}=|\,\text{exato}-\text{aprox}\,| e erro relativo \mathrm{ER}=\mathrm{EA}/\text{aprox} como no exemplo dado):
  • Erro absoluto:
\mathrm{EA}=\left|\frac{139}{660}-0{,}211\right| =0{,}211-\frac{139}{660}
(foi subtraído 139/660 porque 0{,}211 é ligeiramente maior que o valor exato)
Calculo em frações:
0{,}211=\frac{211}{1000},\qquad \mathrm{EA}=\frac{211}{1000}-\frac{139}{660}=\frac{211\cdot66-139\cdot10}{660\cdot10}=\frac{13926-1390}{6600}=\frac{12536}{6600\cdot?}
(mais simples usar a forma decimal conhecida)
Usando aritmética direta:
\mathrm{EA}=\frac{13}{33000}\approx 0{,}000393939\ldots
(obs.: a forma \dfrac{13}{33000} vem da diferença matemática exata entre 0{,}211=\dfrac{211}{1000} e \dfrac{139}{660}; \dfrac{211}{1000}-\dfrac{139}{660}=\dfrac{13}{33000}.)
  • Erro relativo (dividido pelo valor aproximado 0{,}211, seguindo o exemplo):
\mathrm{ER}=\frac{\mathrm{EA}}{0{,}211}=\frac{13/33000}{211/1000}=\frac{13}{6963}\approx 0{,}001866997\ldots
Arredondando razoavelmente: \mathrm{ER}\approx 0{,}001867 (isto é cerca de 0{,}1867\%).

Passo 7

Explicação por que o erro ocorre e por que pode ser grande em casos semelhantes (aula curta e prática):
  • A principal fonte de erro aqui é a perda de dígitos significativos causada por truncamento, especialmente quando se subtrai dois números próximos. Isso se chama “cancelamento” (catastrophic cancellation): quando 0{,}333 e 0{,}272 são subtraídos, os algarismos iniciais (0,2/0,3) se cancelam, sobrando um resultado pequeno 0{,}061 que tem muito menos informação significativa do que os operandos. Nesse processo, quaisquer dígitos perdidos por truncamento nos operandos ou no resultado têm grande peso relativo no valor final da diferença.
  • Em outras palavras: truncar os operandos antes da subtração já introduz pequenos erros; ao subtrair números quase iguais esses pequenos erros são ampliados relativamente ao resultado (o resultado é pequeno), logo a perda de precisão é expressiva nesse passo intermediário.
  • Consequência prática: a ordem das operações importa na aritmética de ponto flutuante limitada. Se, por exemplo, em vez de calcular (1/3-3/11)+3/20 fizéssemos 1/3 - (3/11 - 3/20) ou somássemos primeiro coisas que aumentam o tamanho do acumulado, a perda relativa poderia diminuir. Em resumo: subtrações entre valores próximos são perigosas quando a mantissa é curta e quando se trunca (ou mesmo arredonda) a cada passo.

Resposta

\text{Aproximação (ponto flutuante truncado)} = 0{,}211çã
\text{Erro absoluto (EA)} = \dfrac{13}{33000}\approx 0{,}000393939
\text{Erro relativo (ER)} \approx 0{,}001866997\\ (\approx 0{,}001867)

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