Efetue as seguintes as seguintes operações envolvendo matrizes sobre \mathbb{R} :
\left(\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\\ 0 & b & 0 \\\ 0 & 0 & c\end{array}\right)^{5} \quad a, b, c \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para elevar à quinta potência a matriz diagonal 3×3 com entradas a,b,c reais. As informações que temos são:
D=\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\[4pt] 0 & b & 0\\[4pt] 0 & 0 & c \end{pmatrix}, \qquad a,b,c\in\mathbb{R}.
A pergunta é: qual é D^{5}?]

Passo 2

Primeiro, um lembrete importante sobre multiplicação de matrizes (vou explicar devagarinho): se X e Y são matrizes 3\times3, a entrada (i,j) do produto XY é
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{3}X_{ik}\,Y_{kj}.
No caso de matrizes diagonais, todas as entradas fora da diagonal são zero. Então, ao calcular (XY)_{ij} para i\neq j cada termo do somatório envolve pelo menos uma entrada zero, e o resultado é zero. Para i=j resta apenas o termo com k=i, e obtemos
(XY)_{ii}=X_{ii}\,Y_{ii}.
Ou seja: o produto de duas diagonais é diagonal, e cada elemento diagonal é o produto dos correspondentes elementos diagonais.

Passo 3

Aplicando isso à nossa matriz D: se multiplicarmos D por outra cópia de D (isto é, calcular D^{2}=D\cdot D), cada entrada diagonal vira o produto da entrada correspondente consigo mesma. Logo
D^{2}=\begin{pmatrix} a^{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & b^{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & c^{2} \end{pmatrix}.
Para ver explicitamente um elemento: (D^{2})_{11}=D_{11}D_{11}=a\cdot a=a^{2}; e para (D^{2})_{12} tem soma de termos com zeros, então dá 0.]

Passo 4

Agora generalizamos por indução (é um jeito padrão e curto): suponha que para algum inteiro n\ge1 já sabemos que
D^{n}=\begin{pmatrix} a^{n} & 0 & 0\\[4pt] 0 & b^{n} & 0\\[4pt] 0 & 0 & c^{n} \end{pmatrix}.
Então
D^{n+1}=D^{n}\,D.
Pelo argumento do Passo 2 (produto de diagonais), o produto é diagonal e cada entrada diagonal é o produto das entradas diagonais correspondentes:
(D^{n+1})_{11}=(D^{n})_{11}D_{11}=a^{n}\cdot a=a^{n+1},
e análogamente para as outras posições diagonais. Assim
D^{n+1}=\begin{pmatrix} a^{n+1} & 0 & 0\\[4pt] 0 & b^{n+1} & 0\\[4pt] 0 & 0 & c^{n+1} \end{pmatrix},
o que fecha a indução.]

Passo 5

Aplicando o resultado do passo anterior para n=5, obtemos diretamente
D^{5}=\begin{pmatrix} a^{5} & 0 & 0\\[4pt] 0 & b^{5} & 0\\[4pt] 0 & 0 & c^{5} \end{pmatrix}.
Uma forma alternativa de pensar (mais intuiva): como cada multiplicação por D só multiplica cada entrada diagonal por a, b ou c respectivamente, após 5 multiplicações cada entrada virou a^{5}, b^{5}, c^{5}.]

Passo 6

Observações finais rápidas e úteis para prova:
  • Isso vale para qualquer inteiro positivo n: D^{n}=\operatorname{diag}(a^{n},b^{n},c^{n}).
  • Se precisasse de D^{-1} (potência negativa), seria necessário que a,b,c\neq0; aí D^{-1}=\operatorname{diag}(a^{-1},b^{-1},c^{-1}).

Resposta

\begin{pmatrix} a^{5} & 0 & 0\\[4pt] 0 & b^{5} & 0\\[4pt] 0 & 0 & c^{5} \end{pmatrix}]

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