Verifique se a seguinte matriz M é inversível. Caso seja, determine a sua inversa M^{-1}.
M=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -2 & 1 \\\\ -1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar se a matriz M é inversível e, caso seja, determinar M^{-1}.
A matriz fornecida é
M=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\\\ -1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Dados relevantes: os elementos da matriz estão todos listados acima. Não há outras informações extras.

Passo 2

Conceito chave (rápida explicação): uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Portanto primeiro calculamos \det(M). Para matrizes 3\times3 uma forma direta de calcular o determinante é a expansão por co-fatores (ou usar a regra de Sarrus). Vou usar a expansão pela primeira linha, que dá a fórmula
\det(M)=a_{11}\det(M_{11})-a_{12}\det(M_{12})+a_{13}\det(M_{13}),
onde cada M_{1j} é o menor 2\times2 obtido eliminando a linha 1 e a coluna j.

Passo 3

Calcular os menores e o determinante passo a passo.
Os elementos da primeira linha são a_{11}=3, a_{12}=-2, a_{13}=1.
O menor correspondente a a_{11} é
\det(M_{11})=\det\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-3\cdot1=2-3=-1.
O menor correspondente a a_{12} é
\det(M_{12})=\det\begin{pmatrix}-1 & 3 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-3\cdot0=-1.
O menor correspondente a a_{13} é
\det(M_{13})=\det\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-2\cdot0=-1.
Agora aplico a fórmula da expansão:
\det(M)=3\cdot(-1)-(-2)\cdot(-1)+1\cdot(-1).
Calculemos cada termo:
3\cdot(-1)=-3,\qquad -(-2)\cdot(-1)=+2\cdot(-1)=-2,\qquad 1\cdot(-1)=-1.
Somando:
\det(M)=-3-2-1=-6.
Como \det(M)=-6\neq0, concluímos que M é inversível.]

Passo 4

Método para encontrar M^{-1}: vou usar o método de Gauss–Jordan. Ideia: formar a matriz aumentada [M\mid I] (onde I é a identidade 3\times3) e aplicar operações elementares de linha até transformar o lado esquerdo em I; o lado direito então será M^{-1}. As operações permitidas são: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo e somar múltiplos de uma linha a outra.
Montamos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 3 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Objetivo: criar pivô 1 na posição (1,1). Divido a primeira linha por 3:
R_1\leftarrow \dfrac{1}{3}R_1,
ficando
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\[4pt] -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Zerar abaixo do pivô da primeira coluna. Como R_2 tem -1 na coluna 1, faço
R_2\leftarrow R_2+R_1.
Isso dá
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{4}{3} & \tfrac{10}{3} & \tfrac{1}{3} & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Transformar o pivô da segunda linha (coluna 2) em 1. O elemento é \tfrac{4}{3}, então multiplico R_2 por \tfrac{3}{4}:
R_2\leftarrow \tfrac{3}{4}R_2,
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{5}{2} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{3}{4} & 0\\[6pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 8

Zerar os outros elementos da coluna 2.
  • Para zerar a entrada em R_1 (que é -\tfrac{2}{3}), faço
R_1\leftarrow R_1+\tfrac{2}{3}R_2.
Cálculos:
\begin{aligned} \text{nova }R_1 &:\; \bigl[1,\;0,\;2\;\bigm|\; \tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{4},\;0+\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{3}{4},\;0+\tfrac{2}{3}\cdot0\bigr] \\\ &=\bigl[1,\;0,\;2\;\bigm|\; \tfrac{1}{2},\;\tfrac{1}{2},\;0\bigr]. \end{aligned}
  • Para zerar a entrada em R_3 (que é 1), faço
R_3\leftarrow R_3-R_2,
obtendo
R_3=\bigl[0,\;0,\;-\tfrac{3}{2}\;\bigm|\; -\tfrac{1}{4},\;-\tfrac{3}{4},\;1\bigr].
Assim a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{5}{2} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{3}{4} & 0\\[6pt] 0 & 0 & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{4} & 1 \end{array}\right].]

Passo 9

Agora o pivô da terceira linha é -\tfrac{3}{2}. Torno-o 1 multiplicando R_3 por -\tfrac{2}{3}:
R_3\leftarrow -\tfrac{2}{3}R_3,
o que dá
R_3=\bigl[0,\;0,\;1\;\bigm|\; \tfrac{1}{6},\;\tfrac{1}{2},\;-\tfrac{2}{3}\bigr].

Passo 10

Zerar as entradas acima do pivô na coluna 3.
  • Em R_1 2 na coluna 3, faço
R_1\leftarrow R_1-2R_3.
Cálculo dos termos à direita:
\begin{aligned} \tfrac{1}{2}-2\cdot\tfrac{1}{6} &= \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6},\\[4pt] \tfrac{1}{2}-2\cdot\tfrac{1}{2} &= \tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2},\\[4pt] 0-2\cdot\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) &= \tfrac{4}{3}. \end{aligned}
  • Em R_2 \tfrac{5}{2} na coluna 3, faço
R_2\leftarrow R_2-\tfrac{5}{2}R_3.
Cálculo dos termos à direita:
\begin{aligned} \tfrac{1}{4}-\tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{1}{6} &= \tfrac{1}{4}-\tfrac{5}{12}=\tfrac{3}{12}-\tfrac{5}{12}=-\tfrac{1}{6},\\[4pt] \tfrac{3}{4}-\tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{1}{2} &= \tfrac{3}{4}-\tfrac{5}{4}=-\tfrac{1}{2},\\[4pt] 0-\tfrac{5}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) &= \tfrac{5}{3}. \end{aligned}
Depois dessas operações a parte esquerda tornou-se a identidade I_3, e a parte direita contém a matriz que buscamos.]

Passo 11

Concluímos pelo procedimento de Gauss–Jordan que o lado direito da matriz aumentada é M^{-1}. (Os cálculos das operações foram apresentados passo a passo nos passos anteriores.)

Resposta

M^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{4}{3} \\[6pt] -\tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{3} \\[6pt] \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{2}{3} \end{pmatrix}]

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