Efetue as seguintes operações com intervalos:
\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{3}\right) \cup(0, \infty).

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a operação de união entre dois intervalos. As informações dadas são:
  • Primeiro intervalo: \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{1}{3}\right).
  • Segundo intervalo: (0,\infty).
    O objetivo é simplificar a união \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{1}{3}\right)\cup(0,\infty) escrevendo-a como um único (ou o menor número possível de) intervalos.

Passo 2

Vamos entender numericamente os extremos para visualizar melhor:
  • \displaystyle -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx -0,7071.
  • \displaystyle \dfrac{1}{3}\approx 0,3333.
Assim o primeiro intervalo vai de aproximadamente -0,7071 até 0,3333 (ambos extremos abertos). O segundo intervalo começa em 0 (aberto) e vai até +\infty.

Passo 3

Para ver se há interseção entre os intervalos, basta encontrar um número que pertença a ambos. Tome, por exemplo, \displaystyle \dfrac{1}{6} (que é aproximadamente 0,1666).
  • Verificar \dfrac{1}{6}\in\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{1}{3}\right): de fato -\dfrac{\sqrt{2}}{2}<\dfrac{1}{6}<\dfrac{1}{3}.
  • Verificar \dfrac{1}{6}\in(0,\infty): claro, \dfrac{1}{6}>0.
Logo a interseção dos dois intervalos é não-vazia (por exemplo contém \dfrac{1}{6}). Portanto os dois intervalos se sobrepõem.

Passo 4

Quando dois intervalos abertos se sobrepõem, a união é outro intervalo aberto cujo extremo esquerdo é o menor dos extremos esquerdos e cujo extremo direito é o maior dos extremos direitos. Aqui:
  • menor extremo esquerdo é -\dfrac{\sqrt{2}}{2} (nenhum dos intervalos inclui esse ponto, logo permanece aberto);
  • maior extremo direito é +\infty (ou seja, a união se estende indefinidamente para a direita).
Portanto a união simplificada é o intervalo aberto que vai de -\dfrac{\sqrt{2}}{2} até +\infty.

Passo 5

Justificação final curta e prática para a prova: como (0,\infty) contém pontos maiores que \dfrac{1}{3} e \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{1}{3}\right) já cobre todos os pontos entre -\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \dfrac{1}{3}, e há sobreposição (p.ex. \dfrac{1}{6}), a união é o intervalo contínuo desde -\dfrac{\sqrt{2}}{2} (não incluído) até o infinito.

Resposta

\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\infty\right)

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