(EFOMM-13) A matriz
A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 1 & \sqrt{2} & 1 \end{array}\right]
define em \mathbb{R}^{3} os vetores
\vec{v}_{i}=a_{i 1} \vec{i}+a_{i 2} \vec{j}+a_{i 3} \vec{k}, \quad 1 \leq i \leq 3 .
Se \vec{u} e \vec{v} são dois vetores em \mathbb{R}^{3} satisfazendo:
(i) \vec{u} é paralelo, tem mesmo sentido de \vec{v}_{2} e \|\vec{u}\|=3;
(ii) \vec{v} é paralelo, tem mesmo sentido de \vec{v}_{3} e \|\vec{v}\|=2.
Então, o produto vetorial \vec{u} \times \vec{v} é dado por:
a) \frac{3 \sqrt{2}}{2}(\vec{i}+\vec{j}-(\sqrt{2}+1) \vec{k})
b) 3 \sqrt{2}(\vec{i}-\vec{j}+(\sqrt{2}-1) \vec{k})

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 1 & \sqrt{2} & 1 \end{array}\right]
e define os vetores em \mathbb{R}^3
\vec{v}_{i}=a_{i1}\,\vec{i}+a_{i2}\,\vec{j}+a_{i3}\,\vec{k},\qquad 1\le i\le 3.
As informações relevantes extraídas do enunciado são:
  • \vec{v}_2 é a segunda linha de A, ou seja, seus componentes são os elementos da linha 2.
  • \vec{v}_3 é a terceira linha de A, ou seja, seus componentes são os elementos da linha 3.
  • O vetor \vec{u} é paralelo a \vec{v}_2, tem o mesmo sentido de \vec{v}_2 e \|\vec{u}\|=3.
  • O vetor \vec{v} (do enunciado) é paralelo a \vec{v}_3, tem o mesmo sentido de \vec{v}_3 e \|\vec{v}\|=2.
A pergunta pede calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. As opções fornecidas são as letras (a) e (b).

Passo 2

Vamos escrever explicitamente \vec{v}_2 e \vec{v}_3 pegando os dados da matriz (linha 2 e linha 3):
\vec{v}_2 = (-1)\,\vec{i} + 1\,\vec{j} + 0\,\vec{k} = (-1,\,1,\,0),
\vec{v}_3 = 1\,\vec{i} + \sqrt{2}\,\vec{j} + 1\,\vec{k} = (1,\,\sqrt{2},\,1).

Passo 3

Precisamos das normas (comprimentos) de \vec{v}_2 e \vec{v}_3. A norma de um vetor (x,y,z) é \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Calculando:
\|\vec{v}_2\|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}.
\|\vec{v}_3\|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+2+1}=\sqrt{4}=2.

Passo 4

Explicando a ideia de paralelo e mesmo sentido: se um vetor \vec{w} é paralelo ao vetor \vec{a} e tem o mesmo sentido, então existe um escalar positivo \lambda>0 tal que \vec{w}=\lambda\vec{a}. Para obter \lambda a partir das normas usa-se \lambda=\dfrac{\|\vec{w}\|}{\|\vec{a}\|}.
Aplicando isso ao nosso caso:
\vec{u}=\frac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{v}_2\|}\,\vec{v}_2=\frac{3}{\sqrt{2}}\,\vec{v}_2, \qquad \vec{v}=\frac{\|\vec{v}\|}{\|\vec{v}_3\|}\,\vec{v}_3=\frac{2}{2}\,\vec{v}_3=1\cdot\vec{v}_3=\vec{v}_3.

Passo 5

Calculemos \vec{u} e \vec{v} em componentes:
\vec{u}=\frac{3}{\sqrt{2}}(-1,\,1,\,0)=\left(-\frac{3}{\sqrt{2}},\;\frac{3}{\sqrt{2}},\;0\right).
\vec{v}=\vec{v}_3=(1,\,\sqrt{2},\,1).

Passo 6

Agora recordando a fórmula do produto vetorial em coordenadas: para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\[4pt] u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} =\big(u_2v_3-u_3v_2\big)\vec{i}-\big(u_1v_3-u_3v_1\big)\vec{j}+\big(u_1v_2-u_2v_1\big)\vec{k}.
Breve explicação geométrica: o resultado é um vetor perpendicular a ambos, com magnitude \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre eles; mas aqui iremos usar a fórmula por determinante que dá diretamente as componentes.]

Passo 7

Substituindo u_1=-\dfrac{3}{\sqrt{2}},\;u_2=\dfrac{3}{\sqrt{2}},\;u_3=0 e v_1=1,\;v_2=\sqrt{2},\;v_3=1 nas expressões das componentes:
Componente em \vec{i}:
u_2v_3-u_3v_2=\frac{3}{\sqrt{2}}\cdot 1 - 0\cdot\sqrt{2}=\frac{3}{\sqrt{2}}.
Componente em \vec{j}:
-(u_1v_3-u_3v_1)=-\Big(-\frac{3}{\sqrt{2}}\cdot 1 - 0\cdot 1\Big)=-\Big(-\frac{3}{\sqrt{2}}\Big)=\frac{3}{\sqrt{2}}.
Componente em \vec{k}:
u_1v_2-u_2v_1=-\frac{3}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}-\frac{3}{\sqrt{2}}\cdot 1.
Calcule cada termo: -\dfrac{3}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}=-3 porque \sqrt{2}/\sqrt{2}=1. Então
u_1v_2-u_2v_1=-3-\frac{3}{\sqrt{2}}.
Portanto, conjuntamente,
\vec{u}\times\vec{v}=\frac{3}{\sqrt{2}}\,\vec{i}+\frac{3}{\sqrt{2}}\,\vec{j}-\Big(3+\frac{3}{\sqrt{2}}\Big)\vec{k}.

Passo 8

Vamos escrever esse resultado de forma que coincida com as alternativas dadas. Fatorando \dfrac{3}{\sqrt{2}} do vetor:
\vec{u}\times\vec{v}=\frac{3}{\sqrt{2}}\Big(\vec{i}+\vec{j}-\big(\sqrt{2}+1\big)\vec{k}\Big).
Observação: \dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2}), então também podemos escrever
\vec{u}\times\vec{v}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\big(\vec{i}+\vec{j}-(\sqrt{2}+1)\vec{k}\big).
Isso coincide exatamente com a alternativa (a).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}\big(\vec{i}+\vec{j}-(\sqrt{2}+1)\vec{k}\big)

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