Resolva os seguintes problemas de Cauchy (PVI)
\left(x y^{2}+x\right) d x+\left(x^{2} y-y\right) d y=0, com y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\left(x y^{2}+x\right)\,dx+\left(x^{2} y-y\right)\,dy=0, \qquad y(0)=1.
Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
  • Temos uma equação na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=x y^{2}+x,\qquad N(x,y)=x^{2}y-y.
  • A informação adicional é a condição inicial y(0)=1.
  • O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação e a condição inicial.

Passo 2

Verificar se a equação é exata (isto é, se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N).
Para isso calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{2}+x\big)=2xy,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y-y\big)=2xy.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} (iguais em todo ponto), a equação é exata em qualquer região onde M,N são contínuas. Portanto existe \Phi(x,y) com \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 3

Explicar a ideia de resolver uma equação exata (mini-aula prática):
  • Se \Phi_x(x,y)=M(x,y), então para obter \Phi integramos M em relação a x, tratando y como constante, e acrescentamos uma função arbitrária de y, digamos h(y).
  • Depois impomos \Phi_y(x,y)=N(x,y) e determinamos h'(y) comparando com N. Finalmente obtemos \Phi(x,y)= constante, que é a solução implícita. É importante verificar a condição inicial para fixar a constante e, se possível, isolar y em função de x.

Passo 4

Integrar M em relação a x para obter \Phi(x,y) parcialmente:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\big(x y^{2}+x\big)\,dx.
Tratando y como constante:
\Phi(x,y)=y^{2}\int x\,dx+\int x\,dx + h(y) = y^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}+h(y).
Ou seja,
\Phi(x,y)=\frac{x^{2}}{2}\,(y^{2}+1)+h(y).

Passo 5

Determinar h(y) impondo \Phi_y=N.
Calcule \Phi_y a partir da expressão encontrada:
\Phi_y=\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{x^{2}}{2}(y^{2}+1)+h(y)\Big)=\frac{x^{2}}{2}\cdot 2y + h'(y)=x^{2}y + h'(y).
Devemos ter \Phi_y=N=x^{2}y - y. Igualando:
x^{2}y + h'(y)=x^{2}y - y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=-y.
Integramos h'(y) em relação a y:
h(y)=\int -y\,dy=-\frac{y^{2}}{2}+C,
onde C é constante.

Passo 6

Escrever a solução implícita \Phi(x,y)= constante, substituindo h(y):
\Phi(x,y)=\frac{x^{2}}{2}(y^{2}+1)-\frac{y^{2}}{2}= \text{const}.
Multiplicando por 2 para simplificar,
x^{2}(y^{2}+1)-y^{2}=K,
onde K é outra constante.
Usar a condição inicial y(0)=1 para determinar K. Substituindo x=0, y=1:
0^{2}(1^{2}+1)-1^{2}=K \quad\Rightarrow\quad -1=K.
Portanto a solução implícita é
x^{2}(y^{2}+1)-y^{2}=-1.

Passo 7

Manipular a expressão implícita para isolar y. Partimos de
x^{2}y^{2}+x^{2}-y^{2}=-1.
Reagrupando os termos com y^{2}:
y^{2}(x^{2}-1)+(x^{2}+1)=0.
Isolando y^{2}:
y^{2}(x^{2}-1) = -(x^{2}+1) \quad\Rightarrow\quad y^{2}=\frac{-(x^{2}+1)}{x^{2}-1}.
Multiplicando numerador e denominador por -1 para ficar mais claro:
y^{2}=\frac{x^{2}+1}{1-x^{2}}.

Passo 8

Obter y(x) e escolher o ramo adequado via condição inicial.
Tomando raiz quadrada,
y(x)=\pm\sqrt{\frac{x^{2}+1}{1-x^{2}}}.
A condição inicial y(0)=1 determina o sinal: em x=0 a expressão dá \sqrt{1/1}=1, logo devemos escolher o sinal positivo. Assim
y(x)=\sqrt{\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}}.
Discutir domínio: a expressão sob a raiz deve ser não-negativa e o denominador não nulo. Aqui 1+x^{2}>0 para todo x, e 1-x^{2}>0 exige |x|<1. Portanto a solução é válida no intervalo
|x|<1.

Passo 9

Resumo e verificação rápida (confirmação intuitiva): a solução encontrada satisfaz a condição inicial e a solução implícita obtida antes; como a equação é exata, esse procedimento é consistente. Não há necessidade de fator integrante aqui porque já era exata.

Resposta

y(x)=\sqrt{\dfrac{1+x^{2}}{1-x^{2}}},\quad |x|<1

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