Resolva os seguintes problemas de Cauchy (PVI)
, com
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
- Temos uma equação na forma
com - A informação adicional é a condição inicial
. - O que se pede: encontrar a solução
que satisfaça a equação e a condição inicial.
Passo 2
Verificar se a equação é exata (isto é, se existe uma função potencial
tal que
e
).
Para isso calculamos as derivadas parciais:
Como
(iguais em todo ponto), a equação é exata em qualquer região onde
são contínuas. Portanto existe
com
e
.
Passo 3
Explicar a ideia de resolver uma equação exata (mini-aula prática):
- Se
, então para obter integramos em relação a , tratando como constante, e acrescentamos uma função arbitrária de , digamos . - Depois impomos
e determinamos comparando com . Finalmente obtemos constante, que é a solução implícita. É importante verificar a condição inicial para fixar a constante e, se possível, isolar em função de .
Passo 4
Integrar
em relação a
para obter
parcialmente:
Tratando
como constante:
Ou seja,
Passo 5
Determinar
impondo
.
Calcule
a partir da expressão encontrada:
Devemos ter
. Igualando:
Integramos
em relação a
:
onde
é constante.
Passo 6
Escrever a solução implícita
constante, substituindo
:
Multiplicando por
para simplificar,
onde
é outra constante.
Usar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
,
:
Portanto a solução implícita é
Passo 7
Manipular a expressão implícita para isolar
. Partimos de
Reagrupando os termos com
:
Isolando
:
Multiplicando numerador e denominador por
para ficar mais claro:
Passo 8
Obter
e escolher o ramo adequado via condição inicial.
Tomando raiz quadrada,
A condição inicial
determina o sinal: em
a expressão dá
, logo devemos escolher o sinal positivo. Assim
Discutir domínio: a expressão sob a raiz deve ser não-negativa e o denominador não nulo. Aqui
para todo
, e
exige
. Portanto a solução é válida no intervalo
Passo 9
Resumo e verificação rápida (confirmação intuitiva): a solução encontrada satisfaz a condição inicial e a solução implícita obtida antes; como a equação é exata, esse procedimento é consistente. Não há necessidade de fator integrante aqui porque já era exata.