O eixo de aço ( G=80 \mathrm{GPa} ) de 160 mm de diâmetro tem um tarugo de bronze ( G=40 \mathrm{GPa} ) de 100 mm de diâmetro e 3 m de comprimento, inserido na extremidade direita e firmemente colado ao aço. Quando os momentos torques de 18 \pi e 8 \pi \mathrm{kN} . \mathrm{m} são aplicados como mostrado, determine:
a) A tensão tangencial máxima no aço;
b) A rotação do extremo livre do eixo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá geometria, materiais e torques. Vou listar claramente os dados e o que é pedido.\n
Dados:\n
  • Diâmetro do eixo de aço (externo): 160\\ \mathrm{mm}.\n
  • Tarugo de bronze (diâmetro): 100\\ \mathrm{mm}.\n
  • Comprimento do tarugo de bronze (inserido): 3\\ \mathrm{m}.\n
  • Distâncias ao longo do eixo (da esquerda para a direita): A até B = 2{,}0\\ \mathrm{m}; B até C = 1{,}5\\ \mathrm{m}; C até D = 1{,}5\\ \mathrm{m}. (Portanto comprimento total 5{,}0\\ \mathrm{m} e o tarugo de bronze ocupa B D = 3{,}0\\ \mathrm{m}.) — estou usando esses comprimentos porque a figura mostra exatamente essas medidas.\n
  • Módulos de cisalhamento: aço G_s = 80\\ \mathrm{GPa}, bronze G_b = 40\\ \mathrm{GPa}.\n
  • Momentos torques aplicados: em B um torque de 18\pi\\ \mathrm{kN\cdot m}; em C um torque de 8\pi\\ \mathrm{kN\cdot m} (conforme a figura).\n
    Pedidos:\n
    a) A tensão tangencial máxima no aço.\n
    b) A rotação (ângulo de torção) do extremo livre D em relação à extremidade fixa A.\n

Passo 2

Identificação das seções e distribuição dos torques internos (memorizando: o torque interno num corte é a soma algébrica dos torques aplicados à direita do corte).\n
  • Seção entre A e B (comprimento L_{AB}=2{,}0\\ \mathrm{m}): os torques aplicados à direita desse corte são 18\pi e 8\pi. Logo o torque interno nessa região é
T_{AB} = (18\pi + 8\pi)\\ \mathrm{kN\cdot m} = 26\pi\\ \mathrm{kN\cdot m}.\n
  • Seção entre B e C (comprimento L_{BC}=1{,}5\\ \mathrm{m}): o torque aplicado à direita deste corte é somente 8\pi. Logo
T_{BC} = 8\pi\\ \mathrm{kN\cdot m}.\n
  • Seção entre C e D (comprimento L_{CD}=1{,}5\\ \mathrm{m}): não há torques aplicados à direita deste corte, portanto
T_{CD} = 0.\n
Observação geométrica importante (da figura): de A até B o aço é maciço (diâmetro 160\\ \mathrm{mm}). De B até D o aço forma uma luva (exterior 160\\ \mathrm{mm}) contendo o tarugo de bronze (diâmetro 100\\ \mathrm{mm}), ou seja, na região B C ambos, aço (tubo) e bronze (núcleo), estão solidariamente colados e compartilham o torque. Em C D há também a mesma montagem, porém o torque interno nessa última região é 0 então não contribui para torção adicional.\n

Passo 3

Fórmulas e cálculo dos momentos de inércia polar ( J) necessários. Vou usar unidades consistentes: \mathrm{N},\\ \mathrm{mm},\\ \mathrm{N/mm^2}. Portanto converto torques para \mathrm{N\cdot mm} e comprimentos para \mathrm{mm}.\n
Fórmulas:\n
  • Polar momento para círculo sólido de diâmetro d:
J_{\text{sólido}}=\frac{\pi d^4}{32}.ó\n
  • Polar momento para anel (tubo) com diâmetro externo d_o e interno d_i:
J_{\text{tubo}}=\frac{\pi\left(d_o^4-d_i^4\right)}{32}.\n
Dados numéricos (em \mathrm{mm} e \mathrm{mm^4}):\n
  • Para o aço maciço (seção A B), d=160\\ \mathrm{mm}:
J_{\text{aço, sólido}}=\frac{\pi (160)^4}{32}=\;20\,480\,000\\ \pi\\ \mathrm{mm^4}.çó\n
  • Para o bronze (núcleo sólido, d=100\\ \mathrm{mm}):
J_{\text{bronze}}=\frac{\pi (100)^4}{32}=\;3\,125\,000\\ \pi\\ \mathrm{mm^4}.\n
  • Para o aço como tubo (região colada B D), d_o=160\\ \mathrm{mm}, d_i=100\\ \mathrm{mm}:
J_{\text{aço,tubo}}=\frac{\pi\big(160^4-100^4\big)}{32}=\;17\,355\,000\\ \pi\\ \mathrm{mm^4}.ç\n
Valores dos módulos de cisalhamento em \mathrm{N/mm^2}: G_s=80{,}000\\ \mathrm{N/mm^2}, G_b=40{,}000\\ \mathrm{N/mm^2}.\n

Passo 4

Cálculo da tensão tangencial máxima no aço.\n
Região concorrente a verificar: o máximo no aço pode ocorrer onde o torque é maior. Temos T_{AB}=26\pi\\ \mathrm{kN\cdot m} (maior) na seção maciça A B, portanto é muito provável que o máximo ocorra ali. Vou calcular também a tensão na parede externa do tubo na região B C para confirmar.\n
Fórmula da tensão tangencial máxima em seção circular (externa): \tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J}, onde c é o raio externo (para d=160\\ \mathrm{mm}, c=80\\ \mathrm{mm}).\n
Cálculo para a seção maciça A B:\n
  • Converto T_{AB} para \mathrm{N\cdot mm}:
T_{AB}=26\pi\\ \mathrm{kN\cdot m}=26\pi\times 10^6\\ \mathrm{N\cdot mm}.\n
  • Aplico \tau=\dfrac{T c}{J} com c=80\\ \mathrm{mm} e J=20\,480\,000\pi\\ \mathrm{mm^4}:
\tau_{AB}=\frac{26\pi\times 10^{6}\cdot 80}{20\,480\,000\pi} =\frac{26\times 10^{6}\cdot 80}{20\,480\,000} \approx 101{,}56\\ \mathrm{N/mm^2}.\n
Portanto na seção maciça o \tau externo é cerca de 101{,}6\\ \mathrm{MPa}.\n
Agora verificação na região B C (aço tubo colado ao bronze): o torque total T_{BC}=8\pi\\ \mathrm{kN\cdot m} é repartido entre aço e bronze proporcionalmente a GJ de cada um (ligação perfeita):\n
  • Fração do torque no aço (região composta):
T_{s} = \frac{G_s J_{s}}{G_s J_{s}+G_b J_{b}}\;T_{BC}.\n
Substituindo os coeficientes (observe que o fator \pi cancela):
G_s J_s = 80{,}000\cdot 17\,355\,000,\qquad G_b J_b = 40{,}000\cdot 3\,125\,000.\n
Calculando a fração numérica obtém-se aproximadamente T_s\approx 0{,}9174\;T_{BC}. Assim\n
T_s\approx 0{,}9174\cdot 8\pi\\ \mathrm{kN\cdot m}\approx 7{,}339\pi\\ \mathrm{kN\cdot m}.\n
Convertendo e calculando tensão na parede externa do tubo ( c=80\\ \mathrm{mm}, J_{aço,tubo}=17\,355\,000\pi\\ \mathrm{mm^4}ç):
\tau_{BC}=\frac{T_s\cdot 80}{17\,355\,000\pi} \approx 33{,}8\\ \mathrm{N/mm^2}.\n
Comparação: \tau_{AB}\approx 101{,}6\\ \mathrm{MPa} é bem maior que \tau_{BC}\approx 33{,}8\\ \mathrm{MPa}. Logo a tensão tangencial máxima no aço ocorre na seção maciça A B e vale aproximadamente 101{,}6\\ \mathrm{MPa}.\n

Passo 5

Cálculo da rotação do extremo livre D (ângulo de torção total) em radianos.\n
Fórmula básica para um segmento uniforme com torque T, módulo G, e momento polar J e comprimento L:
\theta=\frac{T\,L}{G\,J}.\n
A rotação total do extremo livre D em relação a A é a soma das rotações em cada segmento onde há torque não-nulo:\n
  • Segmento A B: comprimento L_{AB}=2000\\ \mathrm{mm}, T_{AB}=26\pi\\ \mathrm{kN\cdot m}=26\pi\times 10^6\\ \mathrm{N\cdot mm}, G_s=80{,}000\\ \mathrm{N/mm^2}, J_{\text{aço,sólido}}=20\,480\,000\pi\\ \mathrm{mm^4}çó. Assim\n \theta_{AB}=\frac{26\pi\times 10^{6}\cdot 2000}{80{,}000\cdot 20\,480\,000\pi} =\frac{52\times 10^{9}}{1{,}638{,}400\times 10^{6}} \approx 0{,}031744\\ \mathrm{rad}.\n
  • Segmento B C: comprimento L_{BC}=1500\\ \mathrm{mm}, torque total T_{BC}=8\pi\\ \mathrm{kN\cdot m}=8\pi\times 10^6\\ \mathrm{N\cdot mm}. Para a barra composta aço+bronze colados, a rigidez à torção por comprimento é G_s J_s + G_b J_b. Logo\n \theta_{BC}=\frac{T_{BC}\,L_{BC}}{G_s J_s + G_b J_b} =\frac{8\pi\times 10^{6}\cdot 1500}{\pi\,(80{,}000\cdot 17\,355\,000 + 40{,}000\cdot 3\,125\,000)}.\n
O \pi cancela e, substituindo os valores numéricos, obtém-se\n \theta_{BC}\approx 0{,}007933\\ \mathrm{rad}.\n
  • Segmento C D: T_{CD}=0, portanto não contribui para torção adicional ( \theta_{CD}=0).\n
    Somando:\n
\theta_{\text{total}}=\theta_{AB}+\theta_{BC}=0{,}031744+0{,}007933\approx 0{,}039677\\ \mathrm{rad}.\n
Em graus isso equivale a 0{,}039677\times \dfrac{180}{\pi}\approx 2{,}27^\circ.\n

Resposta

a) \tau_{\max}=101{,}6\\ \mathrm{MPa}\n
b) \theta=0{,}03968\\ \mathrm{rad}=2{,}27^\circ

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