O eixo de aço (
) de 160 mm de diâmetro tem um tarugo de bronze (
) de 100 mm de diâmetro e 3 m de comprimento, inserido na extremidade direita e firmemente colado ao aço. Quando os momentos torques de
e
são aplicados como mostrado, determine:
a) A tensão tangencial máxima no aço;
b) A rotação do extremo livre do eixo.
a) A tensão tangencial máxima no aço;
b) A rotação do extremo livre do eixo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e dá geometria, materiais e torques. Vou listar claramente os dados e o que é pedido.\n
Dados:\n
Dados:\n
- Diâmetro do eixo de aço (externo):
.\n - Tarugo de bronze (diâmetro):
.\n - Comprimento do tarugo de bronze (inserido):
.\n - Distâncias ao longo do eixo (da esquerda para a direita):
até = ; até = ; até = . (Portanto comprimento total e o tarugo de bronze ocupa – = .) — estou usando esses comprimentos porque a figura mostra exatamente essas medidas.\n - Módulos de cisalhamento: aço
, bronze .\n - Momentos torques aplicados: em
um torque de ; em um torque de (conforme a figura).\n
Pedidos:\n
a) A tensão tangencial máxima no aço.\n
b) A rotação (ângulo de torção) do extremo livreem relação à extremidade fixa .\n
Passo 2
Identificação das seções e distribuição dos torques internos (memorizando: o torque interno num corte é a soma algébrica dos torques aplicados à direita do corte).\n
- Seção entre
e (comprimento ): os torques aplicados à direita desse corte são e . Logo o torque interno nessa região é
- Seção entre
e (comprimento ): o torque aplicado à direita deste corte é somente . Logo
- Seção entre
e (comprimento ): não há torques aplicados à direita deste corte, portanto
Observação geométrica importante (da figura): de
até
o aço é maciço (diâmetro
). De
até
o aço forma uma luva (exterior
) contendo o tarugo de bronze (diâmetro
), ou seja, na região
–
ambos, aço (tubo) e bronze (núcleo), estão solidariamente colados e compartilham o torque. Em
–
há também a mesma montagem, porém o torque interno nessa última região é
então não contribui para torção adicional.\n
Passo 3
Fórmulas e cálculo dos momentos de inércia polar (
) necessários. Vou usar unidades consistentes:
. Portanto converto torques para
e comprimentos para
.\n
Fórmulas:\n
Fórmulas:\n
- Polar momento para círculo sólido de diâmetro
:
- Polar momento para anel (tubo) com diâmetro externo
e interno :
Dados numéricos (em
e
):\n
- Para o aço maciço (seção
– ), :
- Para o bronze (núcleo sólido,
):
- Para o aço como tubo (região colada
– ), , :
Valores dos módulos de cisalhamento em
:
,
.\n
Passo 4
Cálculo da tensão tangencial máxima no aço.\n
Região concorrente a verificar: o máximo no aço pode ocorrer onde o torque é maior. Temos (maior) na seção maciça
–
, portanto é muito provável que o máximo ocorra ali. Vou calcular também a tensão na parede externa do tubo na região
–
para confirmar.\n
Fórmula da tensão tangencial máxima em seção circular (externa): , onde
é o raio externo (para
,
).\n
Cálculo para a seção maciça –
:\n
Região concorrente a verificar: o máximo no aço pode ocorrer onde o torque é maior. Temos
Fórmula da tensão tangencial máxima em seção circular (externa):
Cálculo para a seção maciça
- Converto
para :
- Aplico
com e :
Portanto na seção maciça o
externo é cerca de
.\n
Agora verificação na região –
(aço tubo colado ao bronze): o torque total
é repartido entre aço e bronze proporcionalmente a
de cada um (ligação perfeita):\n
Agora verificação na região
- Fração do torque no aço (região composta):
Substituindo os coeficientes (observe que o fator
cancela):
Calculando a fração numérica obtém-se aproximadamente
. Assim\n
Convertendo e calculando tensão na parede externa do tubo (
,
):
Comparação:
é bem maior que
. Logo a tensão tangencial máxima no aço ocorre na seção maciça
–
e vale aproximadamente
.\n
Passo 5
Cálculo da rotação do extremo livre
(ângulo de torção total) em radianos.\n
Fórmula básica para um segmento uniforme com torque , módulo
, e momento polar
e comprimento
:
Fórmula básica para um segmento uniforme com torque
A rotação total do extremo livre
em relação a
é a soma das rotações em cada segmento onde há torque não-nulo:\n
- Segmento
– : comprimento , , , . Assim\n \n - Segmento
– : comprimento , torque total . Para a barra composta aço+bronze colados, a rigidez à torção por comprimento é . Logo\n \n
O
cancela e, substituindo os valores numéricos, obtém-se\n
\n
- Segmento
– : , portanto não contribui para torção adicional ( ).\n
Somando:\n
Em graus isso equivale a
.\n
Resposta
a)
\n
b)
b)