Uma bancada de ensaio de vibrações, inicialmente balanceada, é utilizada para caracterizar a resposta em amplitude a pequenas massas excitatórias. Dois pesos de ensaio são instalados na bancada com uma defasagem angular de 30^{\circ} no sentido anti-horário. Quando apenas o primeiro peso é montado observa-se uma amplitude de vibração de 12 \mu \mathrm{~m}; quando apenas o segundo peso é montado observa-se uma amplitude de 17 \mu \mathrm{~m}. Crie uma equação da posição, velocidade e aceleração que seja resultante da adição das duas funções sabendo que a frequência do movimento oscilatório é 12 rad/s e estudo (tempo) iniciado quando o motivo mento oscilatório atingiu a amplitude mínima.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as equações resultantes (posição, velocidade e aceleração) da soma das duas oscilações:
A_1=12\\ \mu\mathrm{m},\qquad A_2=17\\ \mu\mathrm{m},
\Delta\varphi=30^\circ=\frac{\pi}{6}\\ \text{(defasagem do segundo em relação ao primeiro no sentido anti-horário)},çãá
\omega=12\\ \mathrm{rad/s},
e o instante t=0 foi escolhido quando o movimento resultante atingiu a amplitude mínima.
As perguntas implícitas são: escrever x(t), v(t)=\dot{x}(t) e a(t)=\ddot{x}(t) da soma das duas contribuições harmônicas.

Passo 2

Modelamos cada contribuição como um movimento harmônico simples de mesma frequência \omega. Escrevo:
x_1(t)=A_1\cos(\omega t+\varphi_1),\qquad x_2(t)=A_2\cos(\omega t+\varphi_2),
com \varphi_2=\varphi_1+\Delta\varphi. Aqui A_1 e A_2 são amplitudes (valores positivos), \omega é a pulsação (em \mathrm{rad/s}) e \varphi_i são fases iniciais. Não precisamos conhecer \varphi_1 isoladamente porque só a diferença \Delta\varphi importa para a amplitude resultante; a fase comum pode ser ajustada para cumprir a condição em t=0.

Passo 3

Explico a ideia física/matemática para somar duas cossenos com mesma \omega: a soma é outro cosseno da mesma frequência, com amplitude resultante X e fase \Phi:
x(t)=x_1(t)+x_2(t)=X\cos(\omega t+\Phi).
A fórmula clássica para a amplitude resultante (obtida por soma vetorial dos fasores) é
X^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\Delta\varphi).
Motivo rapidamente: escrevendo as componentes em coseno e seno e somando os coeficientes de \cos(\omega t) e \sin(\omega t) chega-se a essa expressão (é a lei dos cossenos aplicada aos vetores de amplitude).

Passo 4

Calculo numérico da amplitude resultante. Uso \Delta\varphi=\pi/6 e \cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2.
X^2=12^2+17^2+2\cdot12\cdot17\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) =144+289+408\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Avalio numericamente:
408\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx408\cdot0,8660254\approx353,3384,
X^2\approx144+289+353,3384=786,3384,
X\approx\sqrt{786,3384}\approx28{,}0417\\ \mu\mathrm{m}.
Ou em metros: X\approx28{,}0417\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora uso a condição inicial: o estudo foi iniciado quando o movimento resultante atingiu a amplitude mínima. Para um cosseno, amplitude mínima absoluta corresponde a \cos(\text{fase})=-1, isto é, \Phi=\pi (ou módulo 2\pi). Podemos escolher a origem de tempo de modo que a fase resultante seja exatamente \pi. Assim escrevo o resultado na forma simples
x(t)=X\cos(\omega t+\pi)= -X\cos(\omega t).
Isso respeita o fato físico: em t=0 temos x(0)=-X (mínimo).

Passo 6

Substituo o valor numérico de X e a pulsação \omega para obter a expressão final da posição (dou em \mu\mathrm{m} e em \mathrm{m} para ficar prático):
x(t)=-28{,}0417\cos(12\,t)\\ \mu\mathrm{m}
ou
x(t)=-28{,}0417\times10^{-6}\cos(12\,t)\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calculamos a velocidade derivando x(t). Derivada de \cos(\omega t) é -\omega\sin(\omega t). Com o sinal extra:
v(t)=\dot{x}(t)=-X\cdot(-\omega\sin(\omega t))=X\omega\sin(\omega t).
Substituindo valores:
X\omega=28{,}0417\times10^{-6}\cdot12\approx3{,}3650\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s},
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v(t)=3{,}3650\times10^{-4}\sin(12\,t)\\ \mathrm{m/s}
ou em \mu\mathrm{m/s}:
v(t)=336{,}50\sin(12\,t)\\ \mu\mathrm{m/s}.

Passo 8

Calculamos a aceleração derivando v(t) (ou usando a(t)=-\omega^2 x(t)). Derivando:
a(t)=\dot{v}(t)=X\omega^2\cos(\omega t).
Substituindo:
X\omega^2=28{,}0417\times10^{-6}\cdot(12)^2=28{,}0417\times10^{-6}\cdot144\approx4{,}0380\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s^2},
portanto
a(t)=4{,}0380\times10^{-3}\cos(12\,t)\\ \mathrm{m/s^2}.
(Em alternativa, usando x(t): a(t)=-\omega^2 x(t) também dá a mesma expressão.)

Resposta

x(t)=-28{,}0417\cos(12\,t)\\ \mu\mathrm{m} \n
v(t)=336{,}50\sin(12\,t)\\ \mu\mathrm{m/s} \n
a(t)=4{,}0380\times10^{-3}\cos(12\,t)\\ \mathrm{m/s^2}

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