Uma bancada de ensaio de vibrações, inicialmente balanceada, é utilizada para caracterizar a resposta em amplitude a pequenas massas excitatórias. Dois pesos de ensaio são instalados na bancada com uma defasagem angular de
no sentido anti-horário. Quando apenas o primeiro peso é montado observa-se uma amplitude de vibração de
; quando apenas o segundo peso é montado observa-se uma amplitude de
. Crie uma equação da posição, velocidade e aceleração que seja resultante da adição das duas funções sabendo que a frequência do movimento oscilatório é 12 rad/s e estudo (tempo) iniciado quando o motivo mento oscilatório atingiu a amplitude mínima.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as equações resultantes (posição, velocidade e aceleração) da soma das duas oscilações:
e o instante
foi escolhido quando o movimento resultante atingiu a amplitude mínima.
As perguntas implícitas são: escrever ,
e
da soma das duas contribuições harmônicas.
As perguntas implícitas são: escrever
Passo 2
Modelamos cada contribuição como um movimento harmônico simples de mesma frequência
. Escrevo:
com
. Aqui
e
são amplitudes (valores positivos),
é a pulsação (em
) e
são fases iniciais. Não precisamos conhecer
isoladamente porque só a diferença
importa para a amplitude resultante; a fase comum pode ser ajustada para cumprir a condição em
.
Passo 3
Explico a ideia física/matemática para somar duas cossenos com mesma
: a soma é outro cosseno da mesma frequência, com amplitude resultante
e fase
:
A fórmula clássica para a amplitude resultante (obtida por soma vetorial dos fasores) é
Motivo rapidamente: escrevendo as componentes em coseno e seno e somando os coeficientes de
e
chega-se a essa expressão (é a lei dos cossenos aplicada aos vetores de amplitude).
Passo 4
Calculo numérico da amplitude resultante. Uso
e
.
Avalio numericamente:
Ou em metros:
.
Passo 5
Agora uso a condição inicial: o estudo foi iniciado quando o movimento resultante atingiu a amplitude mínima. Para um cosseno, amplitude mínima absoluta corresponde a
, isto é,
(ou módulo
). Podemos escolher a origem de tempo de modo que a fase resultante seja exatamente
. Assim escrevo o resultado na forma simples
Isso respeita o fato físico: em
temos
(mínimo).
Passo 6
Substituo o valor numérico de
e a pulsação
para obter a expressão final da posição (dou em
e em
para ficar prático):
ou
Passo 7
Calculamos a velocidade derivando
. Derivada de
é
. Com o sinal extra:
Substituindo valores:
logo
ou em
:
Passo 8
Calculamos a aceleração derivando
(ou usando
). Derivando:
Substituindo:
portanto
(Em alternativa, usando
:
também dá a mesma expressão.)