A barra circular maciça B C, de aço, é presa à haste rígida A B, e engastada ao suporte rígido em C. Sabendo-se que G=75 \mathrm{GPa}, determinar o diâmetro da barra, de modo que, para P=450 \mathrm{~N}, a deflexão do ponto A não ultrapasse 2 mm e que a máxima tensão de cisalhamento não exceda o valor de 30 MPa .

Passo 1

O enunciado pede: determinar o diâmetro da barra circular maciça BC (aço, com G=75\\ \mathrm{GPa}) de modo que, para P=450\\ \mathrm{N},
  • a deflexão vertical do ponto A não ultrapasse 2\\ \mathrm{mm}, e
  • a máxima tensão de cisalhamento na barra não exceda 30\\ \mathrm{MPa}.
Informações/dados fornecidos na figura (peguei as distâncias da imagem):
  • força: \displaystyle P=450\\ \mathrm{N},
  • braço da alavanca (distância de A até o eixo da barra em B): \displaystyle a=380\\ \mathrm{mm}=0{,}380\\ \mathrm{m},
  • comprimento da barra sujeita à torção (de B até o engaste em C): \displaystyle L=610\\ \mathrm{mm}=0{,}610\\ \mathrm{m},
  • módulo de cisalhamento: \displaystyle G=75\\ \mathrm{GPa}=75\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},
  • limite de deflexão em A: \displaystyle \delta_{A,\max}=2\\ \mathrm{mm}=0{,}002\\ \mathrm{m},
  • tensão de cisalhamento admissível: \displaystyle \tau_{\max}=30\\ \mathrm{MPa}=30\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
A barra é maciça e circular: polar de inércia J e tensão de torção seguem as fórmulas clássicas para seção circular maciça. A solução requer achar o diâmetro mínimo que satisfaça simultaneamente as duas condições acima.

Passo 2

Entender o comportamento físico e as fórmulas que vamos usar (aula rápida, passo a passo):
  • Quando a força \displaystyle P atua em A, ela produz um torque (momento torçor) em torno do eixo da barra BC. O torque em B vale
\displaystyle T = P\cdot a.
Aqui \displaystyle a é a distância de A ao eixo da barra em B.
  • Para uma barra circular maciça de diâmetro \displaystyle d:
    • o momento polar de inércia (para torção) é
    \displaystyle J = \frac{\pi d^{4}}{32}.
    • a tensão de cisalhamento máxima (na superfície) causada por um torque \displaystyle T é
    \displaystyle \tau_{\max} = \frac{T\,c}{J} = \frac{16\,T}{\pi d^{3}},
    onde c=d/2 é a distância da fibra mais externa ao eixo.
  • O ângulo de torção (rotação) ao longo de um comprimento \displaystyle L sujeito a torque constante \displaystyle T é
\displaystyle \varphi = \frac{T\,L}{G\,J}.
Se a haste rígida AB gira com esse ângulo \varphi, a deflexão vertical do ponto A (deslocamento pequeno) é aproximadamente
\displaystyle \delta_{A} \approx \varphi\cdot a.
Portanto, para limitar a deflexão em A basta limitar \varphi de modo que \varphi\le \delta_{A,\max}/a.
Agora aplicamos essas fórmulas com os números do problema.

Passo 3

Calcular o torque aplicado e o ângulo de torção máxima permitido pela condição de deflexão:
  • Torque devido a P:
\displaystyle T = P\cdot a = (450\\ \mathrm{N})(0{,}380\\ \mathrm{m}) = 171{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • ângulo de torção máximo compatível com \delta_{A,\max}:
\displaystyle \varphi_{\max} = \frac{\delta_{A,\max}}{a} = \frac{0{,}002\\ \mathrm{m}}{0{,}380\\ \mathrm{m}} = 0{,}0052631579\\ \mathrm{rad}.

Passo 4

Encontrar o diâmetro mínimo exigido pela condição de deflexão usando \displaystyle \varphi = \dfrac{T L}{G J}:
Substituindo J=\dfrac{\pi d^{4}}{32} e isolando d:
\displaystyle \varphi_{\max} = \frac{T L}{G\left(\dfrac{\pi d^{4}}{32}\right)} \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle d^{4} = \frac{32\,T\,L}{\pi\,G\,\varphi_{\max}}.
Agora substituímos numericamente:
\displaystyle d^{4} = \frac{32\,(171{,}0)\,(0{,}610)}{\pi\,(75\times10^{9})\,(0{,}0052631579)}.
Calculemos passo a passo:
\displaystyle \text{numerador} = 32\cdot171{,}0\cdot0{,}610 = 3337{,}92
\displaystyle \text{denominador} = \pi\cdot75\times10^{9}\cdot0{,}0052631579 \approx 1{,}239183526\times10^{9}
\displaystyle d^{4} \approx \frac{3337{,}92}{1{,}239183526\times10^{9}} = 2{,}693962\times10^{-6}.
Tomando a quarta raiz,
\displaystyle d \approx (2{,}693962\times10^{-6})^{1/4} \approx 0{,}040545\\ \mathrm{m} = 40{,}545\\ \mathrm{mm}.
Arredondando com sentido prático, \displaystyle d_{\text{deflexão}}\approx 40{,}5\\ \mathrm{mm}ã.

Passo 5

Encontrar o diâmetro mínimo exigido pela condição de tensão de cisalhamento, usando \displaystyle \tau_{\max} = \dfrac{16T}{\pi d^{3}}\le \tau_{\text{admissível}}í:
Isolando d,
\displaystyle d^{3} = \frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\text{admissível}}} \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle d = \left(\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\text{admissível}}}\right)^{1/3}.íí
Substituindo numericamente ( T=171{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}, \tau_{\text{admissível}}=30\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}í):
\displaystyle d^{3} = \frac{16\cdot171{,}0}{\pi\cdot30\times10^{6}} = \frac{2736}{94{,}247{,}779{,}6} \approx 2{,}903040\times10^{-5},
\displaystyle d \approx (2{,}903040\times10^{-5})^{1/3} \approx 0{,}03067\\ \mathrm{m} = 30{,}67\\ \mathrm{mm}.
Arredondando, \displaystyle d_{\text{cisalhamento}}\approx 30{,}7\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Concluir qual condição domina:
  • Pelo cálculo, o diâmetro necessário para limitar a deflexão é \displaystyle d_{\text{deflexão}}\approx 40{,}5\\ \mathrm{mm}ã.
  • O diâmetro necessário para manter a tensão de cisalhamento abaixo de 30\\ \mathrm{MPa} é \displaystyle d_{\text{cisalhamento}}\approx 30{,}7\\ \mathrm{mm}.
Para satisfazer simultaneamente as duas exigências devemos tomar o maior dos dois diâmetros. Portanto o requisito que domina é a limitação de deflexão, e o diâmetro mínimo que atende ambas as condições é \displaystyle d\approx 40{,}5\\ \mathrm{mm}.
Na prática recomenda-se escolher um diâmetro comercial igual ou maior que esse (por exemplo 41\\ \mathrm{mm} ou 45\\ \mathrm{mm}) para ter margem de segurança e considerar tolerâncias de fabricação.

Resposta

Diâmetro mínimo para limite de deflexão: d_{\text{deflexão}}\approx 40{,}5\\ \mathrm{mm}ã
Diâmetro mínimo para limite de tensão de cisalhamento: d_{\text{cisalhamento}}\approx 30{,}7\\ \mathrm{mm}
Diâmetro a ser adotado (satisfaz ambas): d \approx 40{,}5\\ \mathrm{mm} (adotar valor comercial igual ou superior, ex.: 41\\ \mathrm{mm} ou 45\\ \mathrm{mm}).

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