A barra circular maciça
, de aço, é presa à haste rígida
, e engastada ao suporte rígido em
. Sabendo-se que
, determinar o diâmetro da barra, de modo que, para
, a deflexão do ponto
não ultrapasse 2 mm e que a máxima tensão de cisalhamento não exceda o valor de 30 MPa .
Passo 1
O enunciado pede: determinar o diâmetro da barra circular maciça
(aço, com
) de modo que, para
,
- a deflexão vertical do ponto
não ultrapasse , e - a máxima tensão de cisalhamento na barra não exceda
.
Informações/dados fornecidos na figura (peguei as distâncias da imagem):
- força:
, - braço da alavanca (distância de
até o eixo da barra em ): , - comprimento da barra sujeita à torção (de
até o engaste em ): , - módulo de cisalhamento:
, - limite de deflexão em
: , - tensão de cisalhamento admissível:
.
A barra é maciça e circular: polar de inércia
e tensão de torção seguem as fórmulas clássicas para seção circular maciça. A solução requer achar o diâmetro mínimo que satisfaça simultaneamente as duas condições acima.
Passo 2
Entender o comportamento físico e as fórmulas que vamos usar (aula rápida, passo a passo):
- Quando a força
atua em , ela produz um torque (momento torçor) em torno do eixo da barra . O torque em vale
Aqui
é a distância de
ao eixo da barra em
.
-
Para uma barra circular maciça de diâmetro
: - o momento polar de inércia (para torção) é
- a tensão de cisalhamento máxima (na superfície) causada por um torque
é
ondeé a distância da fibra mais externa ao eixo. -
O ângulo de torção (rotação) ao longo de um comprimento
sujeito a torque constante é
Se a haste rígida
gira com esse ângulo
, a deflexão vertical do ponto
(deslocamento pequeno) é aproximadamente
Portanto, para limitar a deflexão em
basta limitar
de modo que
.
Agora aplicamos essas fórmulas com os números do problema.
Passo 3
Calcular o torque aplicado e o ângulo de torção máxima permitido pela condição de deflexão:
- Torque devido a
:
- ângulo de torção máximo compatível com
:
Passo 4
Encontrar o diâmetro mínimo exigido pela condição de deflexão usando
:
Substituindo
e isolando
:
Agora substituímos numericamente:
Calculemos passo a passo:
Tomando a quarta raiz,
Arredondando com sentido prático,
.
Passo 5
Encontrar o diâmetro mínimo exigido pela condição de tensão de cisalhamento, usando
:
Isolando
,
Substituindo numericamente (
,
):
Arredondando,
.
Passo 6
Concluir qual condição domina:
- Pelo cálculo, o diâmetro necessário para limitar a deflexão é
. - O diâmetro necessário para manter a tensão de cisalhamento abaixo de
é .
Para satisfazer simultaneamente as duas exigências devemos tomar o maior dos dois diâmetros. Portanto o requisito que domina é a limitação de deflexão, e o diâmetro mínimo que atende ambas as condições é
.
Na prática recomenda-se escolher um diâmetro comercial igual ou maior que esse (por exemplo
ou
) para ter margem de segurança e considerar tolerâncias de fabricação.
Resposta
Diâmetro mínimo para limite de deflexão:
Diâmetro mínimo para limite de tensão de cisalhamento:
Diâmetro a ser adotado (satisfaz ambas): (adotar valor comercial igual ou superior, ex.:
ou
).
Diâmetro mínimo para limite de tensão de cisalhamento:
Diâmetro a ser adotado (satisfaz ambas):