Um eixo de ferro ( \alpha_{\mathrm{Fe}}=1,2 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ) tem diâmetro de 10,05 \mathrm{~cm} e um anel de alumínio ( \alpha_{\mathrm{Al}}=2,4 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ) tem diâmetro de 10,00 \mathrm{~cm} quando a temperatura ambiente é 20^{\circ} \mathrm{C}. Para encaixar o anel sobre o eixo, determine a que temperatura deve-se aquecer:
apenas o anel;

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pergunta claramente o que devemos encontrar.
  • Coeficiente de dilatação linear do ferro: \alpha_{\mathrm{Fe}}=1,2\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Coeficiente de dilatação linear do alumínio: \alpha_{\mathrm{Al}}=2,4\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Diâmetro do eixo de ferro à temperatura ambiente 20^\circ\mathrm{C}: d_{\mathrm{Fe},0}=10,05\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro interno do anel de alumínio à temperatura ambiente 20^\circ\mathrm{C}: d_{\mathrm{Al},0}=10,00\\ \mathrm{cm}.
Pergunta a resolver: aquecendo apenas o anel de alumínio, a que temperatura (absoluta em graus Celsius) o anel deve ser aquecido para que seu diâmetro passe a permitir o encaixe sobre o eixo de ferro (isto é, para que o diâmetro do anel iguale ou supere d_{\mathrm{Fe},0}).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática e informal).
Quando um corpo metálico é aquecido, seus comprimentos lineares (incluindo diâmetros) crescem aproximadamente de forma proporcional à variação de temperatura. A fórmula linear de dilatação térmica é:
L = L_0\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr),
onde:
  • L é o comprimento (ou diâmetro) final à nova temperatura,
  • L_0 é o comprimento (ou diâmetro) inicial à temperatura de referência,
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (por unidade de temperatura),
  • \Delta T é a variação de temperatura: \Delta T = T - T_0, com T_0 temperatura inicial.
Aqui aplicamos essa fórmula ao diâmetro do anel de alumínio, porque o diâmetro é um comprimento linear e se comporta igualzinho a uma régua: cresce conforme \alpha_{\mathrm{Al}} e \Delta T.
Hipótese importante: o eixo de ferro permanece em 20^\circ\mathrm{C} (porque só aquecemos o anel), logo seu diâmetro não muda e continua sendo d_{\mathrm{Fe},0}=10,05\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Montar a equação que garante o encaixe.
Queremos que o diâmetro do anel aquecido seja igual ao diâmetro do eixo (ou ligeiramente maior). Usamos igualdade para encontrar a temperatura mínima necessária:
d_{\mathrm{Al}} = d_{\mathrm{Al},0}\bigl(1+\alpha_{\mathrm{Al}}\,\Delta T\bigr) = d_{\mathrm{Fe},0}.
Isolando \Delta T:
\Delta T = \frac{d_{\mathrm{Fe},0}/d_{\mathrm{Al},0}-1}{\alpha_{\mathrm{Al}}}.
Aqui:
  • d_{\mathrm{Fe},0} é 10,05\\ \mathrm{cm},
  • d_{\mathrm{Al},0} é 10,00\\ \mathrm{cm},
  • \alpha_{\mathrm{Al}}=2,4\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1},
  • a temperatura inicial T_0 é 20^\circ\mathrm{C},
  • e a temperatura final será T = T_0 + \Delta T.

Passo 4

Calcular \Delta T passo a passo (contas claras, sem pular etapas).
Primeiro calcule a razão dos diâmetros:
\frac{d_{\mathrm{Fe},0}}{d_{\mathrm{Al},0}}=\frac{10,05}{10,00}=1,005.
Então a diferença relativa necessária é
\frac{d_{\mathrm{Fe},0}}{d_{\mathrm{Al},0}}-1=1,005-1=0,005.
Agora calcule \Delta T:
\Delta T=\frac{0,005}{2,4\times10^{-5}}.
Para facilitar a conta em notação científica:
\Delta T=\frac{5{,}0\times10^{-3}}{2{,}4\times10^{-5}}=\frac{5{,}0}{2{,}4}\times10^{2}=2{,}08333\ldots\times10^{2}=208{,}333\ldots\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Determinar a temperatura absoluta final do anel e comentar (interpretação final).
A temperatura inicial é T_0=20^\circ\mathrm{C}. Assim:
T = T_0+\Delta T = 20^\circ\mathrm{C} + 208{,}333\ldots^\circ\mathrm{C} = 228{,}333\ldots^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma razoável para uma casa decimal:
T \approx 228{,}3^\circ\mathrm{C}.
Comentário prático e empático: isso significa aquecer bastante o anel — mais de duzentos graus acima da temperatura ambiente — porque a diferença inicial de apenas 0{,}05\\ \mathrm{cm} exige grande variação térmica devido ao pequeno coeficiente de dilatação do alumínio. Na prova, é suficiente apresentar esses passos e a conta; na prática, atenção à segurança e ao fato de que, em montagem real, costuma-se também recorrer a aquecimento moderado junto com lubrificação, montagem por folga ou uso de montagem por prensa para evitar aquecer tanto.

Resposta

T\approx228{,}3^\circ\mathrm{C}

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