Um eixo de ferro (
) tem diâmetro de
e um anel de alumínio (
) tem diâmetro de
quando a temperatura ambiente é
. Para encaixar o anel sobre o eixo, determine a que temperatura deve-se aquecer:
apenas o anel;
apenas o anel;
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pergunta claramente o que devemos encontrar.
- Coeficiente de dilatação linear do ferro:
. - Coeficiente de dilatação linear do alumínio:
. - Diâmetro do eixo de ferro à temperatura ambiente
: . - Diâmetro interno do anel de alumínio à temperatura ambiente
: .
Pergunta a resolver: aquecendo apenas o anel de alumínio, a que temperatura (absoluta em graus Celsius) o anel deve ser aquecido para que seu diâmetro passe a permitir o encaixe sobre o eixo de ferro (isto é, para que o diâmetro do anel iguale ou supere
).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática e informal).
Quando um corpo metálico é aquecido, seus comprimentos lineares (incluindo diâmetros) crescem aproximadamente de forma proporcional à variação de temperatura. A fórmula linear de dilatação térmica é:
onde:
-
é o comprimento (ou diâmetro) final à nova temperatura, -
é o comprimento (ou diâmetro) inicial à temperatura de referência, -
é o coeficiente de dilatação linear (por unidade de temperatura), -
é a variação de temperatura: , com temperatura inicial.
Aqui aplicamos essa fórmula ao diâmetro do anel de alumínio, porque o diâmetro é um comprimento linear e se comporta igualzinho a uma régua: cresce conforme
e
.
Hipótese importante: o eixo de ferro permanece em
(porque só aquecemos o anel), logo seu diâmetro não muda e continua sendo
.
Passo 3
Montar a equação que garante o encaixe.
Queremos que o diâmetro do anel aquecido seja igual ao diâmetro do eixo (ou ligeiramente maior). Usamos igualdade para encontrar a temperatura mínima necessária:
Isolando
:
Aqui:
-
é , -
é , -
, - a temperatura inicial
é , - e a temperatura final será
.
Passo 4
Calcular
passo a passo (contas claras, sem pular etapas).
Primeiro calcule a razão dos diâmetros:
Então a diferença relativa necessária é
Agora calcule
:
Para facilitar a conta em notação científica:
Passo 5
Determinar a temperatura absoluta final do anel e comentar (interpretação final).
A temperatura inicial é
. Assim:
Arredondando de forma razoável para uma casa decimal:
Comentário prático e empático: isso significa aquecer bastante o anel — mais de duzentos graus acima da temperatura ambiente — porque a diferença inicial de apenas
exige grande variação térmica devido ao pequeno coeficiente de dilatação do alumínio. Na prova, é suficiente apresentar esses passos e a conta; na prática, atenção à segurança e ao fato de que, em montagem real, costuma-se também recorrer a aquecimento moderado junto com lubrificação, montagem por folga ou uso de montagem por prensa para evitar aquecer tanto.