O comprimento de uma barra aumenta de 0,4 \% quando ela é aquecida em 200^{\circ} \mathrm{C}. Determine o coeficiente de dilatação linear do material da barra. Resposta: \mathbf{2} \boldsymbol{\times} \mathbf{1 0}^{\mathbf{5}}{ }^{\mathbf{\circ}} \mathbf{C}^{\mathbf{1}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado informa que o comprimento da barra aumenta 0{,}4\% quando a barra é aquecida em 200^{\circ}\mathrm{C}.
  • O enunciado pede: determinar o coeficiente de dilatação linear do material da barra (ou seja, o valor de \alpha).
Informações dadas (resumindo em símbolos):
  • \dfrac{\Delta L}{L_{0}} = 0{,}4\% (aumentos relativos no comprimento)
  • \Delta T = 200^{\circ}\mathrm{C} (variação de temperatura)

Passo 2

Apresentar a fórmula que relaciona dilatação linear e explicar cada termo (aula rápida e prática).
A fórmula básica da dilatação linear para pequenas variações de temperatura é
\Delta L=\alpha L_{0}\Delta T.
O que cada símbolo significa:
  • \Delta L é a variação do comprimento (comprimento final menos comprimento inicial).
  • L_{0} é o comprimento inicial (antes do aquecimento).
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear que queremos encontrar (medido por unidade de temperatura, por exemplo por ^{\circ}\mathrm{C}^{-1}).
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C} ou em K; para variações, ^\circ\mathrm{C} e K são equivalentes numericamente).
Uma observação didática: muitas vezes na prova você verá a razão \dfrac{\Delta L}{L_{0}} chamada de alongamento relativo — é adimensional (sem unidade) e costuma ser dada em porcentagem. Para achar \alpha basta reorganizar a fórmula dividindo por L_{0}\Delta T.

Passo 3

Converter a porcentagem em número decimal (fração).
Porcentagem significa “por cem”, então
0{,}4\% = \frac{0{,}4}{100} = 0{,}004.
Portanto
\frac{\Delta L}{L_{0}} = 0{,}004.

Passo 4

Isolar \alpha na fórmula usando a razão relativa e substituir os valores.
Da fórmula \Delta L=\alpha L_{0}\Delta T dividindo ambos os lados por L_{0}\Delta T obtemos
\alpha=\frac{\Delta L}{L_{0}\,\Delta T}.
Mas \dfrac{\Delta L}{L_{0}}=0{,}004, então
\alpha=\frac{0{,}004}{200}.

Passo 5

Calcular numericamente e escrever em notação científica; explicar unidades.
Efetuando a divisão:
\alpha=\frac{0{,}004}{200}=0{,}00002.
Em notação científica isso é
\alpha=2\times 10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Explicação da unidade: \dfrac{\Delta L}{L_{0}} é adimensional e \Delta T tem unidade ^\circ\mathrm{C}, portanto \alpha tem unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1} (ou equivalentemente \mathrm{K}^{-1}).
Verificação rápida (cheque mental que dá certo na prova): \alpha\Delta T=(2\times10^{-5})\times 200=0{,}004, ou seja 0{,}4\%, exatamente o dado do enunciado — está consistente.

Resposta

2\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}

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