Um eixo de gerador numa pequena usina hidrelétrica gira a 120 rpm e fornece 38 kW .
a) Se o diâmetro do eixo é
, qual é a máxima tensão de cisalhamento
no eixo?
b) Se a tensão de cisalhamento está limitada em
, qual deve ser o diâmetro mínimo admissível
do eixo?
a) Se o diâmetro do eixo é
b) Se a tensão de cisalhamento está limitada em
Passo 1
Dados fornecidos e o que a questão pede:
Perguntas:
- Calcular a máxima tensão de cisalhamento
no eixo com o diâmetro dado. - Se a tensão de cisalhamento admissível é
, encontrar o diâmetro mínimo admissível .
Passo 2
Converter velocidade de rotação para velocidade angular e calcular o torque transmitido.
Fórmula que relaciona potência, torque e velocidade angular:
Fórmula que relaciona potência, torque e velocidade angular:
onde
é potência (em W),
é torque (em N·m) e
é velocidade angular (em rad/s). A velocidade angular é dada por
Substituindo
:
Agora isolamos o torque:
Substituindo numericamente:
Explicação didática:
vem do fato de que potência é trabalho por tempo; em rotação, o trabalho por volta é torque vezes ângulo, e dividir por tempo dá torque vezes velocidade angular.
Passo 3
Relacionar torque com tensão de cisalhamento máxima para eixo circular maciço.
Para um eixo circular submetido à torção temos, no ponto mais exterior (raio ):
Para um eixo circular submetido à torção temos, no ponto mais exterior (raio
onde
é o momento polar de inércia da seção circular maciça e
é o raio externo. Para um diâmetro
,
e
Substituindo
e
em
obtemos a forma prática:
Explicação didática:
mede a “resistência geométrica” à torção; quanto maior
, maior
(proporcional a
), portanto para mesmo torque a tensão cai rapidamente com aumento do diâmetro.
Passo 4
Calcular
usando a fórmula obtida.
Usando e
:
Usando
Calculemos passo a passo:
. Então
Interpretação: a tensão de cisalhamento máxima na superfície do eixo de
sob a potência e rotação dadas é aproximadamente
.
Passo 5
Determinar o diâmetro mínimo admissível quando a tensão máxima permitida é
.
Partindo da fórmula
Partindo da fórmula
isolamos
:
Substituindo
e
:
Calculando numericamente:
Interpretação: para não exceder
de cisalhamento, o eixo precisa ter pelo menos cerca de
de diâmetro.
Resposta
(a)
(b)
(b)