Um eixo de gerador numa pequena usina hidrelétrica gira a 120 rpm e fornece 38 kW .
a) Se o diâmetro do eixo é d=75 \mathrm{~mm}, qual é a máxima tensão de cisalhamento \tau_{\text {max }} no eixo?
b) Se a tensão de cisalhamento está limitada em 28 M P a, qual deve ser o diâmetro mínimo admissível d_{\text {min }} do eixo?

Passo 1

Dados fornecidos e o que a questão pede:
P = 38\\ \text{kW} = 38000\\ \text{W}
N = 120\\ \text{rpm}
d = 75\\ \text{mm} = 0,075\\ \text{m}
Perguntas:
  1. Calcular a máxima tensão de cisalhamento \tau_{\text{max}} no eixo com o diâmetro dado.
  2. Se a tensão de cisalhamento admissível é \,28\\ \text{MPa}, encontrar o diâmetro mínimo admissível d_{\text{min}}.

Passo 2

Converter velocidade de rotação para velocidade angular e calcular o torque transmitido.
Fórmula que relaciona potência, torque e velocidade angular:
P = T\,\omega
onde P é potência (em W), T é torque (em N·m) e \omega é velocidade angular (em rad/s). A velocidade angular é dada por
\omega = \frac{2\pi N}{60}
Substituindo N=120\\ \text{rpm}:
\omega = \frac{2\pi\cdot 120}{60} = 4\pi\\ \text{rad/s}
Agora isolamos o torque:
T = \frac{P}{\omega}
Substituindo numericamente:
T = \frac{38000}{4\pi}\\ \text{N·m}
T \approx 3024,15\\ \text{N·m}
Explicação didática: P=T\omega vem do fato de que potência é trabalho por tempo; em rotação, o trabalho por volta é torque vezes ângulo, e dividir por tempo dá torque vezes velocidade angular.

Passo 3

Relacionar torque com tensão de cisalhamento máxima para eixo circular maciço.
Para um eixo circular submetido à torção temos, no ponto mais exterior (raio c):
\tau_{\text{max}}=\frac{T\,c}{J}
onde J é o momento polar de inércia da seção circular maciça e c é o raio externo. Para um diâmetro d,
c = \frac{d}{2}
e
J = \frac{\pi d^{4}}{32}
Substituindo c e J em \tau_{\text{max}} obtemos a forma prática:
\tau_{\text{max}}=\frac{T\,(d/2)}{\pi d^{4}/32} = \frac{16\,T}{\pi d^{3}}
Explicação didática: J mede a “resistência geométrica” à torção; quanto maior d, maior J (proporcional a d^4), portanto para mesmo torque a tensão cai rapidamente com aumento do diâmetro.

Passo 4

Calcular \tau_{\text{max}} usando a fórmula obtida.
Usando T\approx 3024,15\\ \text{N·m} e d=0,075\\ \text{m}:
\tau_{\text{max}}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}
\tau_{\text{max}}=\frac{16\cdot 3024{,}15}{\pi\cdot (0{,}075)^{3}}\\ \text{Pa}
Calculemos passo a passo: (0{,}075)^{3}=0{,}000421875. Então
\tau_{\text{max}}\approx \frac{48386{,}4}{\pi\cdot 0{,}000421875}\\ \text{Pa}
\tau_{\text{max}}\approx 36{,}5\\ \text{MPa}
Interpretação: a tensão de cisalhamento máxima na superfície do eixo de 75\\ \text{mm} sob a potência e rotação dadas é aproximadamente 36{,}5\\ \text{MPa}.

Passo 5

Determinar o diâmetro mínimo admissível quando a tensão máxima permitida é \tau_{\text{adm}}=28\\ \text{MPa}.
Partindo da fórmula
\tau = \frac{16\,T}{\pi d^{3}}
isolamos d:
d^{3} = \frac{16\,T}{\pi\,\tau}
d = \left(\frac{16\,T}{\pi\,\tau}\right)^{1/3}
Substituindo T\approx 3024{,}15\\ \text{N·m} e \tau=28\cdot 10^{6}\\ \text{Pa}:
d = \left(\frac{16\cdot 3024{,}15}{\pi\cdot 28\cdot 10^{6}}\right)^{1/3}\\ \text{m}
Calculando numericamente:
d \approx 0{,}0821\\ \text{m} = 82{,}1\\ \text{mm}
Interpretação: para não exceder 28\\ \text{MPa} de cisalhamento, o eixo precisa ter pelo menos cerca de 82{,}1\\ \text{mm} de diâmetro.

Resposta

(a) \tau_{\text{max}}\approx 36{,}5\\ \text{MPa}
(b) d_{\text{min}}\approx 82{,}1\\ \text{mm}

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