Um tubo de alumínio vazado usado na estrutura de um telhado tem um diâmetro externo d_{2}=100 \mathrm{~mm} e um diâmetro interno d_{1}=80 \mathrm{~mm}. O tubo tem 2,5 \mathrm{~m} de comprimento e módulo de cisalhamento G=28 \mathrm{GPa}.
a) Se o tubo for girado em torção pura por torques agindo nas extremidades, qual é o valor do ângulo de torção \varphi (em graus) quando a máxima tensão de cisalhamento for 50 MPa ?
b) Qual valor do diâmetro d é necessário para um eixo sólido resistir ao mesmo torque com a mesma tensão máxima?
c) Qual é a razão entre o peso do tubo vazado e o peso do eixo sólido?

Passo 1

O enunciado dá um tubo de alumínio vazado (hélice circular) com as seguintes informações:
d_{2}=100\\ \mathrm{mm},\qquad d_{1}=80\\ \mathrm{mm},\qquad L=2{,}5\\ \mathrm{m},\qquad G=28\\ \mathrm{GPa}.
As perguntas são:
  1. (a) Se a máxima tensão de cisalhamento for \tau_{\max}=50\\ \mathrm{MPa}, qual é o ângulo de torção \varphi (em graus) para o tubo quando ele está submetido ao mesmo torque nas extremidades?
  2. (b) Qual diâmetro d seria necessário para um eixo sólido resistir ao mesmo torque mantendo a mesma tensão máxima \tau_{\max}=50\\ \mathrm{MPa}?
  3. (c) Qual é a razão entre o peso do tubo vazado e o peso do eixo sólido (mesmo comprimento e mesmo material)?
Todos os números geométricos deverão ser convertidos para metros ao calcular grandezas mecânicas: d_{2}=0{,}100\\ \mathrm{m} e d_{1}=0{,}080\\ \mathrm{m}.
Agora vamos resolver passo a passo, explicando as fórmulas e como aplicar cada uma.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Para um eixo circular (sólido ou vazado) submetido a um torque T, a máxima tensão de cisalhamento na superfície externa é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,r_o}{J},
onde r_o é o raio externo e J é o momento polar de inércia (às vezes chamado de segundo momento polar) da seção transversal. Esta fórmula vem da distribuição linear da tensão de cisalhamento com o raio num eixo circular submetido à torção.
  • O ângulo de torção \varphi (em radianos) ao longo de um comprimento L em torção pura é
\varphi=\frac{T\,L}{G\,J},
onde G é o módulo de cisalhamento do material. Essa relação é análoga a \delta = F L/(E A) na tração, mas para torção.
  • Para uma seção circular vazada (anel circular) com diâmetros externos d_2 e interno d_1, o momento polar J é
J_{\text{vazado}}=\frac{\pi}{32}\left(d_2^4-d_1^4\right).
  • Para um eixo circular sólido de diâmetro d,
J_{\text{sólido}}=\frac{\pi}{32}d^4.ó
Vou aplicar essas fórmulas com os dados do problema, mostrando cada passo de cálculo.

Passo 3

Calculemos primeiro o momento polar J do tubo vazado. Convertendo os diâmetros para metros:
d_2=0{,}100\\ \mathrm{m},\qquad d_1=0{,}080\\ \mathrm{m}.
Agora
J_{\text{vazado}}=\frac{\pi}{32}\left(d_2^4-d_1^4\right) =\frac{\pi}{32}\left((0{,}100)^4-(0{,}080)^4\right).
Calcule as potências:
(0{,}100)^4=0{,}0001,\qquad (0{,}080)^4=0{,}00004096.
Diferença:
0{,}0001-0{,}00004096=0{,}00005904.
Multiplicando por \pi/32:
J_{\text{vazado}}=\frac{\pi}{32}\times 0{,}00005904 \approx 5{,}796107\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^4}.

Passo 4

Com J_{\text{vazado}} e a máxima tensão dada \tau_{\max}=50\\ \mathrm{MPa}=50\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}, usamos
\tau_{\max}=\frac{T\,r_o}{J}.
O raio externo é r_o=d_2/2=0{,}050\\ \mathrm{m}. Isolando T:
T=\frac{\tau_{\max}\,J}{r_o}.
Substituindo os valores:
T=\frac{50\times 10^{6}\times 5{,}796107\times 10^{-6}}{0{,}050} = \frac{289{,}805{,}35}{0{,}050}\\ \mathrm{N\cdot m} \approx 5{,}796{,}11\times 10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Portanto, o torque que produz \tau_{\max}=50\\ \mathrm{MPa} no tubo é T\approx 5{,}796{,}1\times 10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Agora encontramos o ângulo de torção \varphi usando
\varphi=\frac{T\,L}{G\,J}.
Substituindo T, L=2{,}5\\ \mathrm{m}, G=28\\ \mathrm{GPa}=28\times 10^{9}\\ \mathrm{Pa} e J=5{,}796107\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^4}:
\varphi=\frac{5{,}796{,}107\times 10^{3}\times 2{,}5}{28\times 10^{9}\times 5{,}796107\times 10^{-6}}.
Note que o J aparece no numerador via T e no denominador aqui, por isso elementos cancelam parcialmente, mas é seguro calcular numericamente:
Calcule o numerador:
T\,L\approx 5{,}796{,}11\times 10^{3}\times 2{,}5=1{,}449{,}03\times 10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Calcule o denominador:
G\,J=28\times 10^{9}\times 5{,}796107\times 10^{-6}\approx 1{,}62288\times 10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Assim
\varphi\approx\frac{1{,}449{,}03\times 10^{4}}{1{,}62288\times 10^{5}}\approx 0{,}08931\\ \text{rad}.
Para converter para graus usamos 1\\ \text{rad}=180/\pi graus:
\phi_{\text{(deg)}}=\varphi\cdot\frac{180}{\pi}\approx 0{,}08931\times 57{,}2958\approx 5{,}12^\circ.
Portanto, o ângulo de torção é aproximadamente \varphi\approx 5{,}12^\circ.

Passo 6

Agora parte (b): queremos o diâmetro d de um eixo sólido que, submetido ao mesmo torque T, apresente a mesma tensão máxima \tau_{\max}.
Para eixo sólido:
\tau_{\max}=\frac{T\,r}{J_{\text{sólido}}}ó
com r=d/2 e J_{\text{sólido}}=\dfrac{\pi}{32}d^4ó. Substituindo r e J_{\text{sólido}}ó,
\tau_{\max}=\frac{T\,(d/2)}{\dfrac{\pi}{32}d^4} = \frac{T}{d^3}\cdot\frac{16}{\pi}.
Isolando d^3,
d^3=\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\max}}.
Portanto
d=\left(\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\max}}\right)^{1/3}.

Passo 7

Substituímos T\approx 5{,}796{,}107\times 10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m} e \tau_{\max}=50\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa} na expressão:
d=\left(\frac{16\times 5{,}796{,}107\times 10^{3}}{\pi\times 50\times 10^{6}}\right)^{1/3}.
Calcule o valor dentro do parêntese:
\frac{16\times 5{,}796{,}107\times 10^{3}}{\pi\times 50\times 10^{6}} \approx 5{,}90608\times 10^{-4}.
Agora a raiz cúbica:
d\approx(5{,}90608\times 10^{-4})^{1/3}\approx 0{,}08391\\ \mathrm{m}=83{,}91\\ \mathrm{mm}.
Arredondando de forma prática para uma casa decimal: d\approx 83{,}9\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Parte (c): razão entre o peso do tubo vazado e o peso do eixo sólido.
Observação prática: para o mesmo material e mesmo comprimento, o peso é proporcional à área da seção transversal. Assim
\frac{W_{\text{vazado}}}{W_{\text{sólido}}}=\frac{A_{\text{vazado}}}{A_{\text{sólido}}} =\frac{\dfrac{\pi}{4}\left(d_2^2-d_1^2\right)}{\dfrac{\pi}{4}d^2} =\frac{d_2^2-d_1^2}{d^2},óó
onde d é o diâmetro do eixo sólido encontrado na parte (b).

Passo 9

Calculemos numericamente:
d_2^2=(0{,}100)^2=0{,}01000,\qquad d_1^2=(0{,}080)^2=0{,}00640,
d^2=(0{,}08391)^2\approx 0{,}007040888.
Então
\frac{W_{\text{vazado}}}{W_{\text{sólido}}}=\frac{0{,}01000-0{,}00640}{0{,}007040888} =\frac{0{,}00360}{0{,}007040888}\approx 0{,}511.ó
Convertendo para porcentagem, o tubo tem aproximadamente 51{,}1\% do peso do eixo sólido de diâmetro d.

Resposta

(a) \varphi\approx 5{,}12^\circ
(b) d\approx 83{,}9\\ \mathrm{mm}
(c) \dfrac{W_{\text{vazado}}}{W_{\text{sólido}}}\approx 0{,}511ó (ou 51{,}1\%)

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