Um tubo de alumínio vazado usado na estrutura de um telhado tem um diâmetro externo
e um diâmetro interno
. O tubo tem
de comprimento e módulo de cisalhamento
.
a) Se o tubo for girado em torção pura por torques agindo nas extremidades, qual é o valor do ângulo de torção
(em graus) quando a máxima tensão de cisalhamento for 50 MPa ?
b) Qual valor do diâmetro
é necessário para um eixo sólido resistir ao mesmo torque com a mesma tensão máxima?
c) Qual é a razão entre o peso do tubo vazado e o peso do eixo sólido?
a) Se o tubo for girado em torção pura por torques agindo nas extremidades, qual é o valor do ângulo de torção
b) Qual valor do diâmetro
c) Qual é a razão entre o peso do tubo vazado e o peso do eixo sólido?
Passo 1
O enunciado dá um tubo de alumínio vazado (hélice circular) com as seguintes informações:
As perguntas são:
- (a) Se a máxima tensão de cisalhamento for
, qual é o ângulo de torção (em graus) para o tubo quando ele está submetido ao mesmo torque nas extremidades? - (b) Qual diâmetro
seria necessário para um eixo sólido resistir ao mesmo torque mantendo a mesma tensão máxima ? - (c) Qual é a razão entre o peso do tubo vazado e o peso do eixo sólido (mesmo comprimento e mesmo material)?
Todos os números geométricos deverão ser convertidos para metros ao calcular grandezas mecânicas:
e
.
Agora vamos resolver passo a passo, explicando as fórmulas e como aplicar cada uma.
Agora vamos resolver passo a passo, explicando as fórmulas e como aplicar cada uma.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Para um eixo circular (sólido ou vazado) submetido a um torque
, a máxima tensão de cisalhamento na superfície externa é dada por
onde
é o raio externo e
é o momento polar de inércia (às vezes chamado de segundo momento polar) da seção transversal. Esta fórmula vem da distribuição linear da tensão de cisalhamento com o raio num eixo circular submetido à torção.
- O ângulo de torção
(em radianos) ao longo de um comprimento em torção pura é
onde
é o módulo de cisalhamento do material. Essa relação é análoga a
na tração, mas para torção.
- Para uma seção circular vazada (anel circular) com diâmetros externos
e interno , o momento polar é
- Para um eixo circular sólido de diâmetro
,
Vou aplicar essas fórmulas com os dados do problema, mostrando cada passo de cálculo.
Passo 3
Calculemos primeiro o momento polar
do tubo vazado. Convertendo os diâmetros para metros:
Agora
Calcule as potências:
Diferença:
Multiplicando por
:
Passo 4
Com
e a máxima tensão dada
, usamos
O raio externo é
. Isolando
:
Substituindo os valores:
Portanto, o torque que produz
no tubo é
.
Passo 5
Agora encontramos o ângulo de torção
usando
Substituindo
,
,
e
:
Note que o
aparece no numerador via
e no denominador aqui, por isso elementos cancelam parcialmente, mas é seguro calcular numericamente:
Calcule o numerador:
Calcule o numerador:
Calcule o denominador:
Assim
Para converter para graus usamos
graus:
Portanto, o ângulo de torção é aproximadamente
.
Passo 6
Agora parte (b): queremos o diâmetro
de um eixo sólido que, submetido ao mesmo torque
, apresente a mesma tensão máxima
.
Para eixo sólido:
com
e
. Substituindo
e
,
Isolando
,
Portanto
Passo 7
Substituímos
e
na expressão:
Calcule o valor dentro do parêntese:
Agora a raiz cúbica:
Arredondando de forma prática para uma casa decimal:
.
Passo 8
Parte (c): razão entre o peso do tubo vazado e o peso do eixo sólido.
Observação prática: para o mesmo material e mesmo comprimento, o peso é proporcional à área da seção transversal. Assim
onde
é o diâmetro do eixo sólido encontrado na parte (b).
Passo 9
Calculemos numericamente:
Então
Convertendo para porcentagem, o tubo tem aproximadamente
do peso do eixo sólido de diâmetro
.
Resposta
(a)
(b)
(c) (ou
)
(b)
(c)