Uma barra circular sólida consiste em dois segmentos. Um segmento tem diâmetro d_{1}=50,8 \mathrm{~mm} e comprimento 1,27 \mathrm{~m}.; o outro segmento tem diâmetro d_{2}=38,1 \mathrm{~mm} e comprimento 1,02 \mathrm{~m}.
Qual é o torque admissível T_{a d m} se a tensão de cisalhamento não deve exceder 27,6 \mathrm{MPa} e o ângulo de torção entre as extremidades da barra não deve exceder 1,0^{\circ} ? (Assuma G=82,7 \mathrm{GPa} )

Passo 1

O enunciado dá dois segmentos de uma barra circular sólida, colados em série, e pede o torque admissível T_{adm} sujeito a duas restrições: tensão de cisalhamento máxima e ângulo de torção total máximo. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
d_{1}=50,8\\ \mathrm{mm}=0,0508\\ \mathrm{m},\quad L_{1}=1,27\\ \mathrm{m}
d_{2}=38,1\\ \mathrm{mm}=0,0381\\ \mathrm{m},\quad L_{2}=1,02\\ \mathrm{m}
\tau_{allow}=27,6\\ \mathrm{MPa}=27,6\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},\quad G=82,7\\ \mathrm{GPa}=82,7\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}
O enunciado pede: qual é T_{adm} tal que
  • a tensão de cisalhamento em cada segmento não exceda \tau_{allow}, e
  • o ângulo total de torção entre as extremidades não exceda 1,0^{\circ}.
    Observação: a barra é composta por dois segmentos em série, então o mesmo torque T atravessa ambos; as duas condições dão dois limites em T e o admissível será o menor deles.

Passo 2

Relembrando as fórmulas que vamos usar (uma mini-aula):
  • Para um eixo circular maciço (sólido), o momento polar de inércia J é
J=\frac{\pi d^{4}}{32},
onde d é o diâmetro. Esse J mede a “resistência geométrica” à torção.
  • A tensão máxima de cisalhamento na superfície do eixo (em valor absoluto) sob torque T ocorre na superfície e é dada por
\tau_{max}=\frac{T\,c}{J},
onde c é o raio externo do eixo, ou seja c=\dfrac{d}{2}. Essa fórmula vem da teoria da torção para seções circulares sólidas.
  • O ângulo de torção \varphi (em radianos) em um segmento de comprimento L submetido a torque T é
\varphi=\frac{T\,L}{J\,G},
onde G é o módulo de cisalhamento do material.
  • Para dois segmentos em série, o ângulo total é a soma das torções nos segmentos:
\phi_{total}=\frac{T\,L_{1}}{J_{1}G}+\frac{T\,L_{2}}{J_{2}G}.
  • Para obter o limite de torque imposto pela tensão, isolamos T em \tau_{max}=\dfrac{T c}{J}:
T_{\tau}=\frac{\tau_{allow}\,J}{c}.
  • Para obter o limite de torque imposto pelo ângulo, isolamos T de \phi_{total}\le\phi_{allowed}:
T_{\varphi}=\frac{\phi_{allowed}\,G}{\dfrac{L_{1}}{J_{1}}+\dfrac{L_{2}}{J_{2}}}.
Nota: o ângulo permitido 1,0^{\circ} deve ser convertido para radianos usando \displaystyle 1,0^{\circ}=\frac{\pi}{180}\\ \mathrm{rad}.

Passo 3

Calcular J_{1} e J_{2} e os raios c_{1},c_{2}.
d_{1}=0,0508\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad d_{1}^{4}=(0,0508)^{4}\approx 6,659\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{4}
J_{1}=\frac{\pi d_{1}^{4}}{32}\approx\frac{\pi(6,659\times10^{-6})}{32}\approx 6,540\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^{4}
c_{1}=\frac{d_{1}}{2}=0,0254\\ \mathrm{m}
d_{2}=0,0381\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad d_{2}^{4}=(0,0381)^{4}\approx 2,107\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{4}
J_{2}=\frac{\pi d_{2}^{4}}{32}\approx\frac{\pi(2,107\times10^{-6})}{32}\approx 2,069\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^{4}
c_{2}=\frac{d_{2}}{2}=0,01905\\ \mathrm{m}
Comentário amigável: esses J são pequenos (potências negativas), mas é normal — a resistência cresce rápido com o diâmetro (quarta potência!).

Passo 4

Limite devido à tensão para o segmento 1 (usar T_{\tau1}=\dfrac{\tau_{allow}J_{1}}{c_{1}}):
T_{\tau1}=\frac{27,6\times10^{6}\cdot 6,540\times10^{-7}}{0,0254}
Calcule o numerador:
27,6\times10^{6}\cdot 6,540\times10^{-7}\approx 18,0504
Dividindo por 0,0254:
T_{\tau1}\approx \frac{18,0504}{0,0254}\approx 710,2\\ \mathrm{N\cdot m}

Passo 5

Limite devido à tensão para o segmento 2 (usar T_{\tau2}=\dfrac{\tau_{allow}J_{2}}{c_{2}}):
T_{\tau2}=\frac{27,6\times10^{6}\cdot 2,069\times10^{-7}}{0,01905}
Calcule o numerador:
27,6\times10^{6}\cdot 2,069\times10^{-7}\approx 5,7164
Dividindo por 0,01905:
T_{\tau2}\approx \frac{5,7164}{0,01905}\approx 300,1\\ \mathrm{N\cdot m}
Interpretação: o segmento mais fino (diâmetro d_{2}) é o ponto fraco em termos de tensão; ele limita o torque a cerca de 300{,}1\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

O limite global devido à tensão é o menor dos dois:
T_{\tau}=\min(T_{\tau1},T_{\tau2})=\min(710,2,\;300,1)=300,1\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 7

Limite devido ao ângulo de torção. Primeiro convertemos o ângulo permitido:
\phi_{allowed}=1,0^{\circ}=\frac{\pi}{180}\\ \mathrm{rad}\approx 0,0174533\\ \mathrm{rad}.
Usamos a fórmula
T_{\varphi}=\frac{\phi_{allowed}\,G}{\dfrac{L_{1}}{J_{1}}+\dfrac{L_{2}}{J_{2}}}.
Calcule os termos:
\frac{L_{1}}{J_{1}}=\frac{1,27}{6,540\times10^{-7}}\approx 1,941\times10^{6}\\ \mathrm{m^{-3}}
\frac{L_{2}}{J_{2}}=\frac{1,02}{2,069\times10^{-7}}\approx 4,927\times10^{6}\\ \mathrm{m^{-3}}
Soma:
\frac{L_{1}}{J_{1}}+\frac{L_{2}}{J_{2}}\approx 6,868\times10^{6}\\ \mathrm{m^{-3}}
Agora o numerador:
\phi_{allowed}\,G\approx 0,0174533\cdot 82,7\times10^{9}\approx 1,4437\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{-2}}
Portanto
T_{\varphi}\approx \frac{1,4437\times10^{9}}{6,868\times10^{6}}\approx 210,2\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 8

Comparação dos limites:
T_{\tau}\approx 300,1\\ \mathrm{N\cdot m},\qquad T_{\varphi}\approx 210,2\\ \mathrm{N\cdot m}.
Como o torque admissível deve satisfazer ambas as condições simultaneamente, tomamos o menor dos dois:
T_{adm}=\min(T_{\tau},T_{\varphi})=T_{\varphi}\approx 210,2\\ \mathrm{N\cdot m}.
Comentário final amigo: portanto o controle dominante é o critério de torção (ângulo máximo). Dá pra ver que o segmento fino reduz a rigidez torsional total, fazendo o ângulo exceder mais rápido que a tensão. Força e calma — essa é a resposta que você usaria na prova.

Resposta

T_{adm}\approx 2,10\times10^{2}\\ \mathrm{N\cdot m}

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