Uma barra circular sólida consiste em dois segmentos. Um segmento tem diâmetro
e comprimento
.; o outro segmento tem diâmetro
e comprimento
.
Qual é o torque admissível
se a tensão de cisalhamento não deve exceder
e o ângulo de torção entre as extremidades da barra não deve exceder
? (Assuma
)
Qual é o torque admissível
Passo 1
O enunciado dá dois segmentos de uma barra circular sólida, colados em série, e pede o torque admissível
sujeito a duas restrições: tensão de cisalhamento máxima e ângulo de torção total máximo. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
O enunciado pede: qual é
tal que
- a tensão de cisalhamento em cada segmento não exceda
, e - o ângulo total de torção entre as extremidades não exceda
.
Observação: a barra é composta por dois segmentos em série, então o mesmo torqueatravessa ambos; as duas condições dão dois limites em e o admissível será o menor deles.
Passo 2
Relembrando as fórmulas que vamos usar (uma mini-aula):
- Para um eixo circular maciço (sólido), o momento polar de inércia
é
onde
é o diâmetro. Esse
mede a “resistência geométrica” à torção.
- A tensão máxima de cisalhamento na superfície do eixo (em valor absoluto) sob torque
ocorre na superfície e é dada por
onde
é o raio externo do eixo, ou seja
. Essa fórmula vem da teoria da torção para seções circulares sólidas.
- O ângulo de torção
(em radianos) em um segmento de comprimento submetido a torque é
onde
é o módulo de cisalhamento do material.
- Para dois segmentos em série, o ângulo total é a soma das torções nos segmentos:
- Para obter o limite de torque imposto pela tensão, isolamos
em :
- Para obter o limite de torque imposto pelo ângulo, isolamos
de :
Nota: o ângulo permitido
deve ser convertido para radianos usando
.
Passo 3
Calcular
e
e os raios
.
Comentário amigável: esses
são pequenos (potências negativas), mas é normal — a resistência cresce rápido com o diâmetro (quarta potência!).
Passo 4
Limite devido à tensão para o segmento 1 (usar
):
Calcule o numerador:
Dividindo por
:
Passo 5
Limite devido à tensão para o segmento 2 (usar
):
Calcule o numerador:
Dividindo por
:
Interpretação: o segmento mais fino (diâmetro
) é o ponto fraco em termos de tensão; ele limita o torque a cerca de
.
Passo 6
O limite global devido à tensão é o menor dos dois:
Passo 7
Limite devido ao ângulo de torção. Primeiro convertemos o ângulo permitido:
Usamos a fórmula
Calcule os termos:
Soma:
Agora o numerador:
Portanto
Passo 8
Comparação dos limites:
Como o torque admissível deve satisfazer ambas as condições simultaneamente, tomamos o menor dos dois:
Comentário final amigo: portanto o controle dominante é o critério de torção (ângulo máximo). Dá pra ver que o segmento fino reduz a rigidez torsional total, fazendo o ângulo exceder mais rápido que a tensão. Força e calma — essa é a resposta que você usaria na prova.