Um eixo gira a 1800 rpm e aplica uma carga radial de 2,0 \mathrm{kN} a um mancal de deslizamento. Uma razão L/D unitária é desejável. Óleo SAE 30 a 65^{\circ} é utilizado. Deseja-se um mancal com dimensões mínimas.
a) Se a pressão média deve ser menor que 1,5 \mathrm{MPa}, determine os valores de L e D .
b) Determine os valores de c correspondentes aos dois limites da zona ótima.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede o que segue.
  • Dados:
    • velocidade do eixo: N=1800\\ \mathrm{rpm}.
    • carga radial aplicada: W=2{,}0\\ \mathrm{kN}=2000\\ \mathrm{N}.
    • razão desejada: L/D=1 (razão unitária).
    • óleo: SAE 30 a 65^\circC (informação sobre óleo fornecida).
    • pressão média admissível: p_{\text{adm}}=1{,}5\\ \mathrm{MPa}=1{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Perguntas:
    a) Determinar os valores mínimos de L e D de modo que a pressão média seja menor que 1{,}5\\ \mathrm{MPa}.
    b) Determinar os valores de c (folga radial) correspondentes aos dois limites da “zona ótima” do mancal.

Passo 2

Entendendo a aproximação que vamos usar para a parte (a) e a fórmula básica.
  • Em dimensionamento rápido de mancal de deslizamento, é comum aproximar a pressão média sustentada pelo mancal por
p_{\text{méd}} \approx \frac{W}{L\cdot D},é
onde:
  • W é a força radial (N),
  • L é o comprimento do mancal (m),
  • D é o diâmetro do furo (diâmetro do mancal) (m).
    Essa fórmula vem da ideia de que a força é suportada pela pressão média atuando na área projetada L\cdot D.
  • Como a razão desejada é L/D=1, temos L=D. Substituindo na expressão de área:
L\cdot D = D\cdot D = D^{2}.
Logo, impondo p_{\text{méd}}\le p_{\text{adm}}é,
p_{\text{adm}} \ge \frac{W}{D^{2}} \quad\Longrightarrow\quad D^{2} \ge \frac{W}{p_{\text{adm}}} \quad\Longrightarrow\quad D \ge \sqrt{\frac{W}{p_{\text{adm}}}}.

Passo 3

Cálculo numérico do diâmetro D e do comprimento L.
  • Substituindo os valores:
D \ge \sqrt{\frac{W}{p_{\text{adm}}}} = \sqrt{\frac{2000}{1{,}5\times10^{6}}} = \sqrt{0{,}001333\ldots} \approx 0{,}036515\\ \mathrm{m}.
  • Em unidades mais práticas:
D \approx 0{,}0365\\ \mathrm{m}=36{,}5\\ \mathrm{mm}.
E como L=D,
L \approx 36{,}5\\ \mathrm{mm}.
Pequeno comentário pedagógico: aqui a viscosidade do óleo e a velocidade não entram diretamente nesta ordem-de-grandeza porque usamos o critério de pressão média. Para projeto mais refinado (capacidade de carga hidrodinâmica real, folga ótima segundo Sommerfeld, espessura de filme, temperatura), a viscosidade e a velocidade seriam usados para calcular o número de Sommerfeld e a excentricidade; mas para a condição dada (pressão média máxima) esta simplificação é usual e segura para obter dimensões mínimas.

Passo 4

Explicando o que é c e como obter os dois limites da “zona ótima”.
  • Definição: c é a folga radial entre o furo do mancal e o diâmetro do eixo, isto é, c = (D_{\text{mancal}}-D_{\text{eixo}})/2. Em projeto de mancal hidrodinâmico usualmente expressa-se a folga adimensionalizada como c/D.
  • Zona ótima: manuais e tabelas práticas de projeto de mancais hidrodinâmicos indicam uma faixa típica para c/D que fornece boa combinação entre capacidade de carga hidrodinâmica e perda por atrito. Um valor prático e muito usado como referência é
\frac{c}{D}\approx 0{,}001\\ \text{(limite inferior)} \quad\text{até}\quad \frac{c}{D}\approx 0{,}003\\ \text{(limite superior).}é
Esses dois valores representam os dois limites da “zona ótima” prática: muito menor que 0{,}001 tende a aumentar atrito/risco de contato; muito maior que 0{,}003 reduz capacidade de formação de filme hidrodinâmico.

Passo 5

Cálculo numérico das folgas c para os dois limites usando o D encontrado.
  • Fórmula:
c = \left(\frac{c}{D}\right)\cdot D.
  • Para o limite inferior \dfrac{c}{D}=0{,}001:
c_{\min} = 0{,}001\cdot D = 0{,}001\cdot 0{,}036515\\ \mathrm{m} = 3{,}6515\times10^{-5}\\ \mathrm{m} = 0{,}0365\\ \mathrm{mm}.
  • Para o limite superior \dfrac{c}{D}=0{,}003:
c_{\max} = 0{,}003\cdot D = 0{,}003\cdot 0{,}036515\\ \mathrm{m} = 1{,}09545\times10^{-4}\\ \mathrm{m} = 0{,}1095\\ \mathrm{mm}.
Comentário final de incentivo: pronto — temos as dimensões mínimas e a faixa de folga prática. Se quiser, na sequência a gente pode calcular o número de Sommerfeld e verificar se essas folgas são compatíveis com a viscosidade do SAE 30 a 65^\circC e com a velocidade 1800\\ \mathrm{rpm}, para um dimensionamento mais completo. Vai dar certo — você já tem as respostas essenciais para a prova!

Resposta

a) L = 36{,}5\\ \mathrm{mm},\\ D = 36{,}5\\ \mathrm{mm}
b) c_{\min}=0{,}0365\\ \mathrm{mm} e c_{\max}=0{,}1095\\ \mathrm{mm}

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